РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 508186 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 104

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\log _x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка умножить на \log _x левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка минус \log _x левая круглая скобка x в квадрате минус 7x плюс 12 правая круглая скобка плюс 1 больше или равно 0.$

Решение. Ограничения на x: $0 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше 3.$ При выполнении этих неравенств также будет выполнены неравенства $4 минус x больше 0,x в квадрате минус 7x плюс 12 больше 0,$ так как $x в квадрате минус 7x плюс 12= левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка .$

В дальнейшем мы будем рассматривать заданное неравенство только на множестве $M= левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая круглая скобка .$

На M:

$\log _x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка умножить на \log _x левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка минус \log _x левая круглая скобка x в квадрате минус 7x плюс 12 правая круглая скобка плюс 1 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно \log _x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка умножить на \log _x левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка минус \log _x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка минус \log _x левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка плюс 1 больше или равно 0.$

Пусть $\log _x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка =u,$ $\log _x левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка = v .$

Тогда:

$u умножить на v минус u минус v плюс 1 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка u умножить на v минус u правая круглая скобка минус левая круглая скобка v минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно u левая круглая скобка v минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка v минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$ $u умножить на v минус u минус v плюс 1 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка u умножить на v минус u правая круглая скобка минус левая круглая скобка v минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно u левая круглая скобка v минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка v минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка v минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка u минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка система выражений новая строка v минус 1 больше или равно 0, новая строка u минус 1 больше или равно 0, конец системы . новая строка система выражений новая строка v минус 1 меньше или равно 0, новая строка u минус 1 меньше или равно 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка система выражений новая строка v больше или равно 1, новая строка u больше или равно 1, конец системы . новая строка система выражений новая строка v меньше или равно 1, новая строка u меньше или равно 1 конец системы . конец совокупности .$

Рассмотрим два случая:

1)  Если $0 меньше x меньше 1,$ то $минус 1 меньше минус x меньше 0,3 меньше 4 минус x меньше 4,2 меньше 3 минус x меньше 3.$

$система выражений новая строка 0 меньше x меньше 1 , новая строка \log _x левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка больше или равно 1 , новая строка \log _x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка больше или равно 1 конец системы .$ или $система выражений новая строка 0 меньше x меньше 1 , новая строка \log _x левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 , новая строка \log _x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка 0 меньше x меньше 1 , новая строка 4 минус x меньше или равно x , новая строка 3 минус x меньше или равно 1 конец системы .$

$система выражений новая строка 0 меньше x меньше 1 , новая строка 4 минус x больше или равно x , новая строка 3 минус x больше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка 0 меньше x меньше 1 , новая строка x больше или равно 2 , новая строка x больше или равно 1,5 конец системы .$ или $система выражений новая строка 0 меньше x меньше 1 , новая строка x меньше или равно 2 , новая строка x меньше или равно 1,5 конец системы . равносильно 0 меньше x меньше 1.$

2)   Если же $1 меньше x меньше 3,$ то $минус 3 меньше минус x меньше минус 1,1 меньше 4 минус x меньше 3,0 меньше 3 минус x меньше 2.$

$система выражений новая строка 1 меньше x меньше 3 , новая строка \log _x левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка больше или равно 1 , новая строка \log _x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка больше или равно 1 конец системы .$ или $система выражений новая строка 1 меньше x меньше 3 , новая строка \log _x левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 , новая строка \log _x левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка 1 меньше x меньше 3 , новая строка 4 минус x больше или равно x , новая строка 3 минус x больше или равно x конец системы .$

$система выражений новая строка 1 меньше x меньше 3 , новая строка 4 минус x меньше или равно x , новая строка 3 минус x меньше или равно x конец системы . равносильно система выражений новая строка 1 меньше x меньше 3 , новая строка 2x меньше или равно 4 , новая строка 2x меньше или равно 3 конец системы .$ или $система выражений новая строка 1 меньше x меньше 3 , новая строка 2x больше или равно 4 , новая строка 2x больше или равно 3 конец системы . равносильно система выражений новая строка 1 меньше x меньше 3 , новая строка x меньше или равно 1,5 конец системы .$

$система выражений новая строка 1 меньше x меньше 3 , новая строка x больше или равно 2 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 1,5$ или $2 меньше или равно x меньше 3.$

Итак, ответ к задаче: $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;1,5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2;3 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;1,5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2:3 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

508186

$левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;1,5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2:3 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 104

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508186	$левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;1,5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2:3 правая круглая скобка .$