ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 508099 Добавить в вариант

При каких значениях параметра a неравенство

$a в кубе x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6a в квадрате x в квадрате минус x плюс 9a плюс 3 больше или равно 0$

верно при любом x?

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем заданное неравенство так:

$a в кубе x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6a в квадрате x в квадрате плюс 9a больше или равно x минус 3 равносильно a умножить на левая круглая скобка a в квадрате x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6ax в квадрате плюс 9 правая круглая скобка больше или равно x минус 3 равносильно a умножить на левая круглая скобка ax в квадрате плюс 3 правая круглая скобка в квадрате больше или равно x минус 3.$ $a в кубе x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6a в квадрате x в квадрате плюс 9a больше или равно x минус 3 равносильно$
$равносильно a умножить на левая круглая скобка a в квадрате x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6ax в квадрате плюс 9 правая круглая скобка больше или равно x минус 3 равносильно a умножить на левая круглая скобка ax в квадрате плюс 3 правая круглая скобка в квадрате больше или равно x минус 3.$ $a в кубе x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6a в квадрате x в квадрате плюс 9a больше или равно x минус 3 равносильно$
$равносильно a умножить на левая круглая скобка a в квадрате x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6ax в квадрате плюс 9 правая круглая скобка больше или равно x минус 3 равносильно$
$равносильно a умножить на левая круглая скобка ax в квадрате плюс 3 правая круглая скобка в квадрате больше или равно x минус 3.$

Заметим, что $ax в квадрате плюс 3 больше 0$ при любых значениях а и х.

Если $a меньше или равно 0,$ то из неравенства $a умножить на левая круглая скобка ax в квадрате плюс 3 правая круглая скобка в квадрате больше или равно x минус 3$ будем иметь: $x минус 3 меньше или равно 0 равносильно x меньше или равно 3;$ заданное неравенство для всех х не выполняется. Таким образом, искомые значения параметра а, если они есть, могут быть только строго положительными.

Далее применим метод неопределенных коэффициентов. Представим левую часть заданного неравенства в виде произведения двух квадратных трехчленов.

$a в кубе x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6a в квадрате x в квадрате минус x плюс 9a плюс 3= левая круглая скобка ax в квадрате плюс bx плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка a в квадрате x в квадрате плюс cx плюс 3a плюс 1 правая круглая скобка =$

$=a в кубе x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс acx в кубе плюс 3a в квадрате x в квадрате плюс ax в квадрате плюс a в квадрате bx в кубе плюс bcx в квадрате плюс 3abx плюс bx плюс 3a в квадрате x в квадрате плюс 3cx плюс 9a плюс 3=$

$=a в кубе x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка ac плюс a в квадрате b правая круглая скобка x в кубе плюс левая круглая скобка 3a в квадрате плюс a плюс bc плюс 3a в квадрате правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка 3ab плюс b плюс 3c правая круглая скобка x плюс 9a плюс 3=$

$=a в кубе x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка ac плюс a в квадрате b правая круглая скобка x в кубе плюс левая круглая скобка 6a в квадрате плюс a плюс bc правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка 3ab плюс b плюс 3c правая круглая скобка x плюс 9a плюс 3$

Итак, имеем:

$система выражений новая строка ac плюс a в квадрате b=0 , новая строка 6a в квадрате плюс a плюс bc=6a в квадрате , новая строка 3ab плюс b плюс 3c= минус 1. конец системы .$

Поскольку a > 0,

$система выражений новая строка c плюс ab=0 , новая строка a плюс bc=0 , новая строка 3ab плюс b плюс 3c= минус 1. конец системы .$

Из первого уравнения последней системы имеем: $c= минус ab.$

Тогда третье уравнение примет вид: $3ab плюс b минус 3ab= минус 1 равносильно b= минус 1.$

Но тогда: $c=a.$

Таким образом,

$a в кубе x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6a в квадрате x в квадрате минус x плюс 9a плюс 3 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка a в квадрате x в квадрате плюс ax плюс 3a плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0.$ $a в кубе x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6a в квадрате x в квадрате минус x плюс 9a плюс 3 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка a в квадрате x в квадрате плюс ax плюс 3a плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Очевидно, неравенство будет выполнено при всех значениях х, если одновременно будут выполнены два условия: дискриминанты каждого квадратного трехчлена, что в левой части последнего неравенства, будут неположительными.

Решим систему неравенств:

$система выражений новая строка 1 минус 12a меньше или равно 0 , новая строка a в квадрате минус 12 умножить на a в кубе минус 4a в квадрате меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка 12a больше или равно 1 , новая строка 12a в кубе плюс 3a в квадрате больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка a больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби , новая строка 4a плюс 1 больше или равно 0 конец системы . a больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби .$

Замечание:

Преобразование левой части неравенства в произведение двух квадратных трехчленов возможно и так:

Прибавим к левой части неравенства и вычтем выражение $ax в квадрате .$

Далее будем иметь:

$левая круглая скобка a в кубе x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6a в квадрате x в квадрате плюс 9a минус ax в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно a умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6ax в квадрате плюс 9 правая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$ $левая круглая скобка a в кубе x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6a в квадрате x в квадрате плюс 9a минус ax в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно a умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6ax в квадрате плюс 9 правая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$

$равносильно a умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка ax в квадрате плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно a умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка ax в квадрате плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$ $равносильно a умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка ax в квадрате плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно a умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка ax в квадрате плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$

$равносильно a умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка ax в квадрате плюс 3 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка ax в квадрате плюс 3 плюс x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка a в квадрате x в квадрате плюс ax плюс 3a плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0.$ $равносильно a умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка ax в квадрате плюс 3 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка ax в квадрате плюс 3 плюс x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка ax в квадрате минус x плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка a в квадрате x в квадрате плюс ax плюс 3a плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 83

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь