РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 508087 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 82

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная пирамида

Сложная стереометрия. Круглые тела

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка K так, что KD : KC  =  3 : 4. На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.

а)  Постройте плоскость, проходящую точки K, B и L;

б)  В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

Решение. а)  Проведем прямую BK в плоскости ABCD и отметим точку T ее пересечения с AD. Проведем прямую LK в плоскости SCD и отметим точку Y ее пересечения с SD. Тогда BLYT  — искомое сечение.

б)  Установим сначала местоположение точек T и Y. Из подобия треугольников KTD и KBC следует, что $TD:BC=3:4,$ откуда $AT:TD=1:3.$

Напишем теорему Менелая для треугольника CSD и прямой LYK. Получим

$дробь: числитель: CL, знаменатель: LS конец дроби умножить на дробь: числитель: SY, знаменатель: YD конец дроби умножить на дробь: числитель: DK, знаменатель: KC конец дроби =1,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: SY, знаменатель: YD конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =1,SY:YD=8:3.$

Теперь вычислим объем одной из частей.

$V_CBTDL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка L,ABC правая круглая скобка умножить на S_CBTD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на d левая круглая скобка S,ABC правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка S_ABCD минус S_BAT правая круглая скобка =$

$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби умножить на d левая круглая скобка S,ABC правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби S_ABCD= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби V_SABCD.$

$V_LTDY= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на d левая круглая скобка L,DTY правая круглая скобка умножить на S_DTY= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка C,DTY правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 11 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на S_DAS=$

$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка C,SAD правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 22 конец дроби умножить на S_DAS= дробь: числитель: 3, знаменатель: 22 конец дроби V_SACD= дробь: числитель: 3, знаменатель: 44 конец дроби V_SABCD.$

$V_CLBTDY=V_CBTDL плюс V_LTDY= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби V_SABCD плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 44 конец дроби V_SABCD= дробь: числитель: 95, знаменатель: 264 конец дроби V_SABCD.$

Поэтому $V_CLBTDY:V_SLBATY=95:169.$

Ответ: 95 : 169.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: 95 : 169.

508087

95 : 169.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 82

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508087	95 : 169.