а) Дан прямоугольный параллелепипед 
Докажите, что все грани тетраэдра 
— равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).
б) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью AA1C и прямой A1B, если AA1 = 3, AB = 4, BC = 4.
а) Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда − равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Таким образом, 
Значит, все грани равны по третьему признаку равенства треугольников.
б) Из точки B проведём перпендикуляр BH к 
— проекция 
на плоскость 
Значит, нужно найти угол 
В прямоугольном треугольнике ABC находим: 
В прямоугольном треугольнике 
находим: 
В прямоугольном треугольнике 
находим: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |