РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 507703 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Прямоугольный параллелепипед, Сечение  — параллелограмм, Сечение, проходящее через три точки, Угол между прямой и плоскостью

Стереометрическая задача. Угол между прямой и плоскостью

а)  Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Докажите, что все грани тетраэдра $ACB_1D_1$   — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).

б)  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостью AA₁C и прямой A₁B, если AA₁  =  3, AB  =  4, BC  =  4.

Решение. а)  Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда − равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Таким образом, $AC=B_1D_1, CB_1=AD_1, AB_1=CD_1.$ Значит, все грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

б)  Из точки B проведём перпендикуляр BH к $AC.$ $A_1H$   — проекция $A_1B$ на плоскость $AA_1C.$ Значит, нужно найти угол $BA_1H.$ В прямоугольном треугольнике ABC находим: $BH=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ В прямоугольном треугольнике $A_1AB$ находим: $A_1B=5.$ В прямоугольном треугольнике $A_1HB$ находим: $синус \angle BA_1H= дробь: числитель: BH, знаменатель: A_1B конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: $арксинус дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

507703

$арксинус дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

Методы геометрии: Метод площадей

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507703	$арксинус дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$