PDF-версии: 
Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, а высота пирамиды совпадает с ребром 
Найти высоту пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 3, а сторона квадрата ABCD равна 15.
Решение. Решение:
Пусть искомая высота пирамиды, т. е. длина ребра SA, равна 
Тогда объем пирамиды 
Это с одной стороны.
С другой же стороны, объем пирамиды связан с радиусом шара, вписанного в него, формулой: 
где S — полная поверхность пирамиды, r — радиус шара, вписанного в пирамиду. В нашем случае 
поскольку 
Найдем 
как два равных прямоугольных треугольника (по двум катетам: SA — общий катет, 
как стороны одного и того же квадрата).
Докажем, что 
прямоугольный.
SB — наклонная к плоскости ABC, AB — проекция наклонной 
По теореме о трех перпендикулярах непременно 
По аналогичной причине 
также окажется прямоугольным. 
(по общей гипотенузе и равным катетам BC и DC). По теореме Пифагора будем иметь: 
Итак, 
Поскольку то: 
(не подходит по смыслу задачи), 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |