Тип Д19 C7 № 506061 
Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства
i
На плоскости даны 8 отрезков. Длина каждого отрезка является натуральным числом, не превосходящим 20. Пусть n – число различных треугольников, которые можно составить из этих отрезков. Один и тот же отрезок может использоваться для разных треугольников, но не может использоваться дважды для одного треугольника.
а) Может ли n = 60?
б) Может ли n = 55?
в) Найдите наименьшее возможное значение n, если среди данных отрезков нет трех равных.
Решение. а) Ясно, что количество треугольников не может быть больше числа сочетаний из восьми по три, а 
б) Пусть длины отрезков такие: 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 6. Тогда возможно ровно 55 треугольников (из 56 возможных сочетаний не годится только одно: 6, 14, 20. Для всех остальных неравенство треугольника выполнено).
в) Докажем, что 
не годится. Пусть длины отрезков равны 
Если ни одного треугольника составить нельзя, то 
Аналогично, 
значит, 
Тогда 
значит, 
Продолжая цепочку, получим: 
Значит, 
не меньше 21. Противоречие.
Приведем пример с 
Используя предыдущее рассуждение получаем такой набор:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 20. Единственный возможный треугольник — это 8, 13, 20.
Ответ: а) Нет; б) Да; в) 1.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) Нет; б) Да; в) 1.
506061
а) Нет; б) Да; в) 1.
PDF-версии: