Ре­ше­ние. а)  Оста­ток все­гда мень­ше де­ли­те­ля, по­это­му с от­ря­да в N бо­га­ты­рей Чер­но­мор не смо­жет по­лу­чить мак­си­мум N − 1 мо­не­ту. Если от­ря­дов K, то Чер­но­мор по­лу­чит не более 33 – K монет. Пусть отряд всего один. Тогда Чер­но­мор по­лу­чит толь­ко 9 монет, так как 240  =  33 · 7 + 9. Зна­чит, 32 мо­не­ты по­лу­чить не уда­ет­ся. По­ка­жем, как по­лу­чить 31 мо­не­ту.

Пусть Чер­но­мор раз­де­лил бо­га­ты­рей на два от­ря­да: 32 бо­га­ты­ря и один бо­га­тырь. Пер­во­му от­ря­ду Чер­но­мор от­да­ет 63 мо­не­ты, и по­лу­ча­ет 31 мо­не­ту. А осталь­ные 177 монет по­лу­ча­ет остав­ший­ся бо­га­тырь.

б)  Чтобы по­лу­чить 31 мо­не­ту, Чер­но­мор дол­жен раз­де­лить ры­ца­рей на два от­ря­да и вы­дать каж­до­му от­ря­ду по 120 монет. При этом, с от­ря­да в N че­ло­век он дол­жен по­лу­чить N − 1 мо­не­ту. Но тогда 121 де­лит­ся на N. Зна­чит, N может рав­нять­ся толь­ко 1, 11 или 121. Но из двух таких чисел не со­ста­вить 33.

По­ка­жем, как по­лу­чить 30 монет. Пусть, на­при­мер, в одном от­ря­де 27 бо­га­ты­рей, а в двух дру­гих  — по три. Тогда Чер­но­мор раз­да­ет каж­до­му от­ря­ду по 80 монет. В итоге с пер­во­го от­ря­да он по­лу­чит назад 26 монет, а с каж­до­го из остав­ших­ся – по две мо­не­ты. В итоге по­лу­ча­ет­ся 30 монет.

Ответ: а) 31; б) 30.