PDF-версии: 
Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдется три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдется
а) 15 одноклассников;
б) 16 одноклассников?
Решение. а) Разобьем всех школьников на классы. Пусть в каждом классе не более 14 человек. Пусть k – число классов, состоящих хотя бы из двух школьников (такие классы назовем большими). Тогда из условия ясно, что k\leqslant 4 (иначе, взяв по два школьника из пяти больших классов, мы получим 10 человек, среди которых нет трех одноклассников).
Пусть k = 4. Тогда общее число школьников в больших классах не превосходит 56. Значит, найдутся 4 школьника, каждый из которых не имеет одноклассников. Возьмем их и еще по два школьника из трех больших классов. У нас получилось 10 школьников, среди которых нет трех одноклассников.
Пусть теперь k меньше четырех. Тогда (аналогично) найдутся как минимум 18 школьников, каждый из которых не имеет одноклассников. Это, конечно, противоречит условию.
Таким образом, хотя бы в одном классе не менее 15 школьников.
б) Необязательно. Рассмотрим 4 класса по 15 школьников. Тогда среди любых десяти найдутся три одноклассника, но 16 одноклассников не найдется.
Ответ: а) Обязательно; б) Нет.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |