PDF-версии: 
Окружности радиусов 2 и 1 касаются в точке A. Найдите сторону равностороннего треугольника, одна из вершин которого находится в точке A, а две другие лежат на разных окружностях.
Решение. Возможны два случая.
1) Окружности касаются внешним образом. Обозначим за 
и 
центры меньшей и большей окружностей, а за B и C — лежащие на них вершины треугольника соответственно. Пусть далее 
тогда
Приравняем стороны AB и AC.
2) Окружности касаются внутренним образом. Обозначим за и центры меньшей и большей окружностей, а за B и C — лежащие на них вершины треугольника соответственно. Пусть далее тогда
Приравняем стороны AB и AC.
Отсюда ясно, что 
не треугольник. Проверка этого случая показывает, что такая ситуация воможна — точки A и O2 (лежащая на меньшей окружности) являются сторонами равностороннего треугольника со стороной 2, третья вершина которого лежит на большей окружности.
Ответ: 
или 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или 2. или 2.