PDF-версии: 
Найти все значения параметра 
при каждом из которых наименьшее значение функции 
на отрезке 
принимает наименьшее значение.
Решение. Наименьшее значение эта функция принимает либо в нулях производной, либо в одном из концов отрезка. Найдем производную:
поэтому нули производной равны 
Если 
то производная имеет вид 
корни производной суть числа 0 и −1. Отрезок становится отрезком [0; 1], на нем функция f возрастает. Наименьшее значение достигается на левой границе отрезка. (*)
Если 
то 
а 
не лежит на отрезке 
В этом случае имеем следующее расположение знаков производной:
| Интервал | ( |  | ( ) |
знак  | + | − | + |
Наименьшего значения функция достигает либо на левой границе отрезка, либо в точке 
(**)
Если 
то производная имеет вид 
Отрезок становится отрезком 
на нем функция лежит единственный корень производной — число 0. Это точка максимума, поэтому наименьшее значение достигается или на левой границе отрезка, или на правой границе. Эти значения равны, будем считать, что наименьшее значение достигается на левой границе (***).
Объединяя случаи (*), (**) и (***) получаем, что если 
то ее наименьшее значение равно наименьшему из значений 
и 
Имеем:
Рассмотрим разность найденных значений на отрезке 
Если 
то 
а 
не лежит на указанном отрезке. Рассуждая аналогично, находим, что если 
то функция убывает на 
и на 
Проведя аналогичные вычисления, можно получить, что ее наименьшее значение равно
Осталось исследовать наименьшие значения (1) и (2) на соответствующих отрезках и найти наименьшее из них. Однако поскольку при замене 
функции переходят друг в друга, достаточно будет исследовать одну из них. Иными словами, поскольку для всех α из отрезка 
верно равенство 
достаточно найти наименьшее значение функции 
на промежутке 
Исследуем производную функции на интервале 
Решениями уравнения 
являются числа 
и 
На интервале 
значения тангенса положительны и меньше 1, поэтому в него входит только корень 
На интервале 
производная 
отрицательна, на интервале 
положительна. Следовательно, функция 
убывает на отрезке 
и возрастает на отрезке 
Поэтому наименьшее значение 
на отрезке 
достигается в точке 
Такое же наименьшее значение принимает и в точке 
принадлежащей отрезку 
Итак, наименьшее значение достигается в точках 
и 
Примечание РЕШУ ЕГЭ.
Это задание из вступительного экзамена в Московский государственный университет несколько сложнее других.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a. ИЛИ Установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |