PDF-версии: 
Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности равен 25, а вписанной в него окружности — 12. Найдите стороны треугольника.
Решение. Пусть задан треугольник АВС, у которого стороны АВ и ВС равны, D — середина АС. Ясно, что центры вписанной и описанной окружностей лежат на BD. И пусть
— центры вписанной и описанной окружностей, их радиусы и r и R соответственно.
Расстояние d между центрами этих окружностей найдем по формуле Эйлера.
Пусть AB = BC = x, A = y. Тогда
т. е. 
Случай 1.
Тогда 
Итак, 
(не подходит по смыслу задачи).
Случай 2.
Тогда 
(не подходит по смыслу задачи).
Примечание:
Конечно же, способ вычисления длин боковых сторон заданного треугольника намного проще, если использовать теорему Пифагора. Сделаем и так.
Случай 1.
Случай 2.
Ответ: 48; 40; 40 или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |