PDF-версии: 
Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом. Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и прямой, проходящей через центры данных.
Решение. Введем координаты так, чтобы линия центров этих окружностей была осью абсцисс, а ось ординат проходила через точку касания окружностей. Тогда центры окружностей будут
и 
(выберем соответствующее направление оси). Пусть координаты центра искомой окружности 
Можно считать, что окружность лежит выше оси, поэтому 
Тогда, очевидно, ее радиус должен быть равен b.
Ясно, что начальных двух окружностей она касается внешним образом. Тогда расстояния между ее центром и центрами остальных окружностей равны сумма радиусов ее и остальных окружностей. Получаем систему уравнений
Вычитая уравнения, находим 
Подставляя в первое уравнение, получаем
Поскольку 
поделим на него и домножим на знаменатель.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |