Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 505964
i

Найти все зна­че­ния a, при ко­то­рых не­ра­вен­ство

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби |a минус 2| умно­жить на |x плюс a минус 4| плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те минус 4a плюс 3, зна­ме­на­тель: |a минус 2| конец дроби минус |a минус 2| пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на |x минус 2| плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби |a минус 2| умно­жить на |x минус a|\leqslant1

вы­пол­ня­ет­ся ровно для двух раз­лич­ных зна­че­ний x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну a минус 2=b, x минус 2=t (это не по­вли­я­ет на число ре­ше­ний). По­лу­чим

0.5|b||b плюс t| минус дробь: чис­ли­тель: |t|, зна­ме­на­тель: |b| конец дроби плюс 0.5|b||b минус t| мень­ше или равно 1.

Оче­вид­но, гра­фик пра­вой части пред­став­ля­ет собой бес­ко­неч­ную ло­ма­ную из не более чем че­ты­рех зве­ньев (есть три точки, где воз­мож­но функ­ция резко ме­ня­ет по­ве­де­ние  — b, минус b,0, при­чем 0  — сред­няя точка), по­это­му ровно два ре­ше­ния может быть толь­ко если край­ние точки смены по­ве­де­ния дают зна­че­ние 1, а осталь­ные  — боль­ше 1.

 

Под­ста­вим t=b, по­лу­чим b в квад­ра­те =2, b=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , a=2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . До­ка­жем, что такие зна­че­ния a дей­стви­тель­но под­хо­дят. Под­став­ляя их в не­ра­вен­ство, по­лу­чим

дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка |t плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2| конец ар­гу­мен­та плюс |t минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2| конец ар­гу­мен­та минус |t| пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1.

При t боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та не­ра­вен­ство све­дет­ся к t мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та   — нет ре­ше­ний.

При t мень­ше минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та не­ра­вен­ство све­дет­ся к t боль­ше или равно минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та   — нет ре­ше­ний.

При минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно t мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та не­ра­вен­ство све­дет­ся к 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус |t| мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та   — ре­ше­ния толь­ко t=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: a=2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025