РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

а)  На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину?

б)  Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?

Решение. а)  Хотя бы одно кольцо надо распилить. Тогда получается одно распиленное кольцо и цепочка, содержащая 10 колец. Ясно, что уже на второй день произвести оплату не удастся. Значит, распилов должно быть как минимум два. Покажем, что этого хватит: распилим четвертое кольцо полученной цепочки (из десяти колец). Тогда будем иметь два распиленных кольца, одну цепочку в три кольца и одну в шесть колец. В первый день отдаем кольцо, во второй еще одно. На третий день отдаем цепочку из трёх колец, и получаем назад два кольца. На четвертый и пятый день отдаем оп одному кольцу. На шестой день отдаем цепочку из шести колец и получаем обратно пять колец. Далее ясно.

б)  Разрезание n колец дает n распиленных колец и не более чем n цепочек.

Для выполнения условий задачи самая короткая цепочка не может состоять более, чем из $n плюс 1$ кольца. Следующая по длине не может состоять из более чем $n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка$ кольца. Следующая по длине цепочка не может состоять из более чем $n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=4 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка$ кольца. И так далее. Получается геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Таким образом, максимально в исходной цепочке может быть

$n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 4 плюс умножить на s плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$ $n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =$
$=n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 4 плюс умножить на s плюс 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$

$= n плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 правая круглая скобка =2 в степени n умножить на левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1$ колец.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ключ