РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Решите систему неравенств: $система выражений новая строка \log _x плюс 5 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка умножить на \log _4 минус x левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка \left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс \left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 2. конец системы .$

Решение. Решим первое неравенство системы. В левой части неравенства перейдем к логарифмам по основанию 2. Далее будем пользоваться методом рационализации:

$дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби умножить на дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби больше или равно 0.$ $дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби умножить на дробь: числитель: \log _2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус \log _21, знаменатель: \log _2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка минус \log _21 конец дроби больше или равно 0.$

Найдем некоторые ограничения на $x:$ $система выражений новая строка x меньше 6, новая строка x больше минус 5, новая строка x больше минус 3, новая строка x меньше 4 конец системы . равносильно система выражений x меньше 4, x больше минус 3 конец системы . равносильно минус 3 меньше x меньше 4.$

Для таких $x:$

$дробь: числитель: левая круглая скобка 6 минус x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 5 минус 1 правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 3 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 4 минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Так как при всех x, удовлетворяющих неравенству $минус 3 меньше x меньше 4,$ $x минус 5 меньше 0,$ $x плюс 4 больше 0,$ то далее нам достаточно решить неравенство $дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 3 конец дроби меньше или равно 0.$ Решения последнего неравенства: $левая квадратная скобка минус 2;3 правая круглая скобка ,$ что удовлетворяет условию $минус 3 меньше x меньше 4.$ Решения первого неравенства системы  — множество $левая квадратная скобка минус 2;3 правая круглая скобка .$

Теперь решим второе неравенство системы на множестве $левая квадратная скобка минус 2;3 правая круглая скобка .$

Поскольку $x плюс 1$ и $минус x минус 1$ противоположны, то, очевидно, что $\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше 0$ для всех $x не равно минус 3.$ Известно, что для любого положительного числа справедливо неравенство $a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби больше или равно 2.$ Поскольку нам задано неравенство вида $a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби меньше или равно 2,$ то нам следует решить уравнение $\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =2.$ А такое равенство возможно лишь при выполнении условия $\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =1,x не равно минус 3.$

Решим последнее уравнение методом рационализации:

$\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =1; левая круглая скобка \left| 2x минус 6 | минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка \left| 2x минус 6 |=1, новая строка x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 2x минус 6=1, новая строка 2x минус 6= минус 1, новая строка x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=3,5, новая строка x=2,5, новая строка x= минус 1. конец совокупности .$ $\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =1; левая круглая скобка \left| 2x минус 6 | минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка \left| 2x минус 6 |=1, новая строка x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 2x минус 6=1, новая строка 2x минус 6= минус 1, новая строка x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=3,5, новая строка x=2,5, новая строка x= минус 1. конец совокупности .$

Значение $x=3,5$ не принадлежит множеству $левая квадратная скобка минус 2;3 правая круглая скобка .$

Итак, решения исходной системы $левая фигурная скобка минус 1;2,5 правая фигурная скобка .$

Замечание.

Решение уравнения $\left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =1$ можно вести и так: прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \log _2\left| 2x минус 6 |=0 равносильно совокупность выражений новая строка x плюс 1=0, новая строка \log _2\left| 2x минус 6 |=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус 1, новая строка \left| 2x минус 6 |=1. конец совокупности .$

Далее решение ведется, как показано выше.

Ответ: $левая фигурная скобка минус 1;2,5 правая фигурная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505944	$левая фигурная скобка минус 1;2,5 правая фигурная скобка .$

Ключ