РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505936 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 16

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Однородные тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на тангенс или котангенс

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $корень из: начало аргумента: 3 минус косинус 2x минус синус 2x конец аргумента = минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Ограничение на $x:$ $синус x меньше или равно 0.$ Для таких x будем иметь:

$3 минус косинус 2x минус синус 2x=8 синус в квадрате x равносильно 2 плюс 1 минус косинус 2x минус синус 2x минус 8 синус в квадрате x=0 равносильно$

$равносильно 2 плюс 2 синус в квадрате x минус 2 синус x умножить на косинус x минус 8 синус в квадрате x=0 равносильно 6 синус в квадрате x плюс 2 синус x умножить на косинус x минус 2=0 равносильно$ $равносильно 2 плюс 2 синус в квадрате x минус 2 синус x умножить на косинус x минус 8 синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно 6 синус в квадрате x плюс 2 синус x умножить на косинус x минус 2=0 равносильно$

$равносильно 3 синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус x минус синус в квадрате x минус косинус в квадрате x=0 равносильно 2 синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус x минус косинус в квадрате x=0 равносильно$ $равносильно 3 синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус x минус синус в квадрате x минус косинус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус x минус косинус в квадрате x=0 равносильно$

$равносильно 2 тангенс в квадрате x плюс тангенс x минус 1=0 равносильно тангенс x= дробь: числитель: минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 8 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно тангенс x= дробь: числитель: минус 1\pm 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка тангенс x= минус 1 новая строка тангенс x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности ..$ $равносильно 2 тангенс в квадрате x плюс тангенс x минус 1=0 равносильно тангенс x= дробь: числитель: минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 8 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно тангенс x= дробь: числитель: минус 1\pm 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка тангенс x= минус 1 новая строка тангенс x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности ..$

$совокупность выражений новая строка система выражений синус x меньше или равно 0, тангенс x= минус 1, конец системы . новая строка система выражений синус x меньше или равно 0, тангенс x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n|n принадлежит Z , новая строка x= Пи плюс арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка ,n принадлежит Z . конец совокупности .$ $совокупность выражений новая строка система выражений синус x меньше или равно 0, тангенс x= минус 1, конец системы . новая строка система выражений синус x меньше или равно 0, тангенс x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n|n принадлежит Z , новая строка x= Пи плюс арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка ,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  Искомых корней не будет. На рассматриваемом промежутке $синус x больше или равно 0.$ Но заданное уравнение обращается в верное равенство только при выполнении условия $синус x меньше или равно 0.$ Следовательно, единственное подходящее значение для синуса равно нулю. Однако, при $синус x=0$ $тангенс x не равно минус 1,$ $тангенс x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ $арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка Пи ,n принадлежит Z .$ б) Таких корней нет.

Замечание.

При переходе от уравнения $a синус в квадрате x плюс b синус x умножить на косинус x плюс c умножить на косинус в квадрате x=0$ к уравнению $a умножить на тангенс в квадрате x плюс b умножить на тангенс x плюс c=0$ проверка того, что при $a не равно 0,$ $b не равно 0,$ $c не равно 0,$ $косинус x не равно 0,$ является лишней работой. На самом деле при $a не равно 0,$ $b не равно 0,$ $c не равно 0,$ потеря корней уравнения произойти не может. Доказательство этого факта опубликовано в журнале научно-методическом журнале «Математика в школе» (см.: Гилемханов Р. Г. «Освободимся от лишней работы» // Математика в школе. – 2000. – № 10. – С.9).

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505936

а) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ $арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка Пи ,n принадлежит Z .$ б) Таких корней нет.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 16

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505936	а) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ $арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка Пи ,n принадлежит Z .$ б) Таких корней нет.