PDF-версии: 
В треугольнике АВС АС = 12, ВС = 5, АВ = 13. Вокруг этого треугольника описана окружность S. Точка D является серединой стороны АС. Построена окружность S1, касающаяся окружности S и отрезка АС в точке D. Найдите радиус окружности S1.
Решение. 12, 5, 13 – пифагоровы числа, следовательно,
— прямоугольный, с гипотенузой АВ. В таком случае АВ — диаметр окружности S. Значит, радиус этой окружности 
Через точку D можно провести две окружности, удовлетворяющие условию задачи.
Пусть О — центр окружности S. Проведем прямую через точки O и D.Очевидно, что прямая OD — ось симметрии как окружности S, так и искомых окружностей. Следовательно, точки 
— центры искомых окружностей, лежат на прямой OD.
Хорда АС окружности S делит круг окружности S на два сегмента, половины высот которых являются искомыми радиусами. Вычислим эти высоты по формуле: 
где l — длина хорды, в нашем случае l = АС = 12. 
Замечание:
Если x — один из искомых радиусов, то радиус другой окружности равен 
Итак, АС и диаметр окружности S — две хорды этой же окружности, пересекающиеся в точке D. Для них выполнимо: 
или 
Проверка показывает, что эти значения х и есть искомые радиусы.
Ответ: 2 или 4,5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |