РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 505891 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 8

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Подобие

Сложная планиметрия. Комбинации фигур

Четырехугольник KLMN вписан в окружность, его диагонали KM и LN пересекаются в точке F, причем KL  =  8, MN  =  4, периметр треугольника MNF равен 9, площадь треугольника KLF равна $3 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KNF.

Решение. Поскольку $\angle LKF=\angle MNF$ и $\angle KLF=\angle NMF$ (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), треугольники LKF и MNF подобны с коэффициентом $дробь: числитель: KL, знаменатель: MN конец дроби =2.$ Пусть $FN=x.$ Тогда $MF=5 минус x,$ $KF=2x,$ $LF=10 минус 2x.$

Найдем по формуле Герона площадь треугольника KLF.

$3 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 9 умножить на 1 умножить на левая круглая скобка 9 минус 2x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка конец аргумента ,$ $15= левая круглая скобка 9 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка ,$ $x=2$ или $x=3.$

Будем пока считать, что $x=2.$

Найдем по теореме косинусов угол KFL:

$64=16 плюс 36 минус 2 умножить на 4 умножить на 6 умножить на косинус \angle KFL, косинус \angle KFL= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$

тогда $косинус \angle KFN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$

Тогда по теореме косинусов в треугольнике KFN имеем $KN в квадрате =16 плюс 4 минус 2 умножить на 2 умножить на 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ откуда $KN=4.$

Наконец, по усиленной теореме синусов

$R_KFN= дробь: числитель: KN, знаменатель: 2 синус \angle KFN конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец дроби .$

Заметим теперь, что если $x=3,$ то $FL=4,$ и все вычисления дают радиус окружности, описанной треугольника около FLM, который подобен треугольнику KFN с коэффициентом $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Значит, радиус окружности, описанной около KFN, равен $дробь: числитель: 12, знаменатель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец дроби$ или $дробь: числитель: 12, знаменатель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

505891

$дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец дроби$ или $дробь: числитель: 12, знаменатель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 8

Методы геометрии: Теорема косинусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505891	$дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец дроби$ или $дробь: числитель: 12, знаменатель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец дроби .$