Тип 19 № 505869 
Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
i
У Лены три набора, в каждом из которых одинаковое количество ручек (больше 1). У Юли несколько (больше 1) наборов ручек, по 5 штук в каждом.
а) При каком количестве наборов у Юли, количество всех ручек у Лены нечетно, если всего у девочек 105 ручек?
б) Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в 12 наборов по 12 ручек в каждом?
в) Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в k наборов по k ручек в каждом (k > 3)?
Решение. а) Пусть в каждом Ленином наборе l ручек, а у Юли u наборов. Тогда получаем уравнение: 
По условию у Лены нечетное число ручек, значит, 
нечетно, и, соответственно, l нечетно. Заметим, что 
значит, l делится на 5. Кроме того, 
Значит, осталось перебрать такие случаи: 
Тогда соответственно, 
б) Используя те же обозначения, получаем уравнение: 
Достаточно подобрать целые корни, большие единицы. Например, подходят числа 
в) Теперь получаем уравнение: 
или 
Докажем, что для любого целого 
найдутся целые корни 
большие единицы.
Разберем несколько случаев. Пусть k делится на 5. Тогда можно взять 
и ясно, что подходящее u найдется. Пусть k дает остаток 1 или 4 при делении на 5. Тогда 
дает остаток 1 при делении на 5. Далее возьмем l, дающее остаток 2 при делении на 5. Тогда 
делится на 5, и нужное u существует. Пусть k дает остаток 2 или 3 при делении на 5. Тогда дает остаток 4 при делении на 5. Далее возьмем l, дающее остаток 3 при делении на 5. Тогда делится на 5, и нужное u существует.
Ответ: а) 18, 12, 6; б) да; в) да.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) 18, 12, 6; б) да; в) да.
505869
а) 18, 12, 6; б) да; в) да.
PDF-версии: