ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 505837 Добавить в вариант

Существуют ли

а)  шесть,

б)  1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?

Спрятать решение

Решение.

Решим сразу общую задачу. Докажем, что для любого натурального $n больше или равно 2$ существуют n натуральных чисел, сумма любых двух из которых делится на их разность. Для $n = 2$ можно взять числа 1 и 2. Пусть числа $a_1, \a_2,...,a_n$ удовлетворяют требуемому условию. Покажем, что тогда числа $A,A плюс a_1,A плюс a_2,...,A плюс a_n,$ где $A=a_1a_2,...a_n,$ тоже удовлетворяют требуемому условию. Ясно, что $A плюс a_k плюс A$ делится на $A плюс A_k минус A=a_k,$ поскольку A делится на $a_k.$

Проверим, что $A плюс a_i плюс A плюс a_j$ делится на $A плюс a_i минус левая круглая скобка A плюс a_j правая круглая скобка =a_i минус a_j.$ По условию $a_i плюс a_j$ делится на $a_i минус a_j.$ Кроме того, $2a_i=a плюс i плюс a_i= левая круглая скобка a_i плюс a_j правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_i минус a_j правая круглая скобка$ делится на $a_i минус a_j,$ а значит, $2A$ делится на $a_i минус a_j.$

Ответ: а) да; б) да.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 80

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь