Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505837

Существуют ли

а) шесть,

б) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?

Спрятать решение

Решение.

Решим сразу общую задачу. Докажем, что для любого натурального n больше или равно 2 существуют n натуральных чисел, сумма любых двух из которых делится на их разность. Для n = 2 можно взять числа 1 и 2. Пусть числа a_1, \a_2,...,a_n удовлетворяют требуемому условию. Покажем, что тогда числа A,A плюс a_1,A плюс a_2,...,A плюс a_n, где A=a_1a_2,...a_n, тоже удовлетворяют требуемому условию. Ясно, что A плюс a_k плюс A делится на A плюс A_k минус A=a_k, поскольку A делится на a_k.

Проверим, что A плюс a_i плюс A плюс a_j делится на A плюс a_i минус (A плюс a_j)=a_i минус a_j. По условию a_i плюс a_j делится на a_i минус a_j. Кроме того, 2a_i=a плюс i плюс a_i=(a_i плюс a_j) плюс (a_i минус a_j) делится на a_i минус a_j, а значит, 2A делится на a_i минус a_j.

 

Ответ: а) да; б) да.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 80.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства