СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505837

Существуют ли

а) шесть,

б) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?

Решение.

Решим сразу общую задачу. Докажем, что для любого натурального существуют натуральных чисел, сумма любых двух из которых делится на их разность. Для можно взять числа 1 и 2. Пусть числа удовлетворяют требуемому условию. Покажем, что тогда числа где тоже удовлетворяют требуемому условию. Ясно, что делится на поскольку делится на

Проверим, что делится на По условию делится на Кроме того, делится на а значит, делится на

 

Ответ: а) да; б) да.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 80.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства