PDF-версии: 
Существуют ли
а) шесть,
б) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?
Решение. Решим сразу общую задачу. Докажем, что для любого натурального 
существуют n натуральных чисел, сумма любых двух из которых делится на их разность. Для 
можно взять числа 1 и 2. Пусть числа 
удовлетворяют требуемому условию. Покажем, что тогда числа 
где 
тоже удовлетворяют требуемому условию. Ясно, что 
делится на 
поскольку A делится на 
Проверим, что 
делится на 
По условию 
делится на 
Кроме того, 
делится на 
а значит, 
делится на
Ответ: а) да; б) да.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |