РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 505819 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 77

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:

А)  приписать на конце цифру 4;

Б)  приписать на конце цифру 0;

В)  разделить на 2 (если число чётно).

Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140.

а)  Из числа 4 получите число 1972.

б)  Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.

Решение. a)  Вместо того чтобы получить с помощью операций А, Б, В из числа 4 число 1972 , мы попробуем получить из числа 1972 число 4 с помощью обратных операций:

А'  — вычеркивание цифры 4 в конце;

Б'  — вычеркивание цифры 0 в конце;

В'  — умножение числа на 2 .

При этом мы будем каждый раз, как только это возможно, применять операцию А' или Б', чтобы по возможности на каждом шаге уменьшать наше число. Получим:

1972 → 3944 → 394 → 39 → 78 → 156 → 312 → 624 → 62 → 124 → 12 → 24 → 2 → 4

Ясно, что прочитав эту последовательность от конца к началу, мы получим нужный результат. (Операция Б' здесь не используется.)

б)  Докажем, что из любого четного числа можно с помощью операций А', Б', В' получить меньшее четное число (ясно, что этого достаточно для решения задачи – рано или поздно мы получим 4). Здесь достаточно рассмотреть 5 случаев:

1)  10k − k,

2)  (10k + 2) − (20k + 4) − 2k,

3)  (10k + 4) − k − 2k,

4)  (10k + 6) − (20k + 10 + 2) − (40k + 20 + 4) − (4k + 2),

5)  (10k + 8) − (20k + 10 + 6) − (40k + 30 + 2) − (80k + 60 + 4) − (8k + 6).

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 77

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ