РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505784 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 72

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: косинус в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x умножить на косинус x, знаменатель: тангенс 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби =0.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Решим уравнение:

$дробь: числитель: косинус в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x умножить на косинус x, знаменатель: тангенс 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби =0 равносильно система выражений новая строка косинус x левая круглая скобка косинус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x правая круглая скобка =0 новая строка тангенс 2x не равно минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений косинус x=0, корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x= минус косинус x, конец системы . новая строка 2x не равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z новая строка косинус 2x не равно 0 конец совокупности . равносильно$ $дробь: числитель: косинус в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x умножить на косинус x, знаменатель: тангенс 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби =0 равносильно система выражений новая строка косинус x левая круглая скобка косинус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x правая круглая скобка =0 новая строка тангенс 2x не равно минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка совокупность выражений косинус x=0, корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x= минус косинус x, конец системы . новая строка 2x не равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z новая строка косинус 2x не равно 0 конец совокупности . равносильно$ $дробь: числитель: косинус в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x умножить на косинус x, знаменатель: тангенс 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби =0 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка косинус x левая круглая скобка косинус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x правая круглая скобка =0 новая строка тангенс 2x не равно минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка совокупность выражений косинус x=0, корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x= минус косинус x, конец системы . новая строка 2x не равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z новая строка косинус 2x не равно 0 конец совокупности . равносильно$

$равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , тангенс x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби , конец системы . новая строка x не равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z новая строка косинус 2x не равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , конец системы . новая строка x не равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z новая строка косинус 2x не равно 0 конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ $равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , тангенс x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби , конец системы . новая строка x не равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z новая строка косинус 2x не равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , конец системы . новая строка x не равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z новая строка косинус 2x не равно 0 конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$

б)  Выборка корней. Заметим, что $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Решим это неравенство относительно целых $n:$

$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби равносильно 2 плюс 4n меньше или равно 3 равносильно 4n меньше или равно 1 равносильно n меньше или равно 0.$

Теперь вычислим значения x при некоторых $n меньше или равно 0.$

n	Значение x	Примечание
$0$	$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$	$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби больше 0 больше минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби$
−1	$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус Пи = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$	$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби больше минус дробь: числитель: 3,15, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 6,3, знаменатель: 4 конец дроби больше минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби$
−2	$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2 Пи = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби$	$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 3 умножить на 3,14, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 9,42, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 18,84, знаменатель: 4 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби$
Дальнейшие поиски значений x не имеют смысла

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505784

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 72

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505784	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$