PDF-версии: 
Диаметр AB и хорда CD окружности пересекаются в точке E, причём CE = DE. Касательные к окружности в точках B и C пересекаются в точке K. Отрезки AK и CE пересекаются в точке M.
а) Докажите подобие треугольников ACE и OKB, где O — центр данной окружности.
б) Найдите площадь треугольника CKM, если AB = 10, AE = 1.
Решение. а) В равнобедренном треугольнике OCD отрезок OE является медианой, следовательно, и высотой. То есть
Отметим на продолжении луча KC за точку C произвольную точку L. Тогда треугольник ACD также равнобедренный, в нем медиана совпадает с высотой. Значит, 
тогда и соответствующие дуги равны. Тогда 
поскольку один из них вписанный, опирающийся на дугу AD, а второй — угол между касательной и хордой, стягивающей дугу AC.
Заметим далее, что 
как соответственные углы при пересечении параллельных прямых KB и CD (они обе перпендикулярны AB) секущей KL. Кроме того KO — биссектриса угла BKC, потому что проходит через центр окружности, а стороны угла — касательные из одной точки. Поэтому 
откуда прямоугольные треугольники BKO и ECA подобны по двум углам.
б) Радиус окружности равен 5. Тогда 
Из треугольника OEC находим 
Тогда 
Треугольники BKA и EMA подобны с коэффициентом 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |