PDF-версии: 
В пирамиде SLMN даны рёбра LM = 5, MN = 9, NL = 10. Сфера радиуса 
касается плоскости основания LMN и боковых рёбер пирамиды. Точки касания делят эти рёбра в равных отношениях, считая от вершины S. Найти объём пирамиды.
Решение. Рассмотрим треугольники с вершинами в центре сферы,вершине S и точках касания сферы с боковыми ребрами. Они все равны по гипотенузе (общей) и катету (радиусу), поэтому у них равны и расстояния от точек касания до
Из условия о равенстве отношений получаем, что боковые ребра пирамиды равны. Следовательно, ее высота падает в центр H описанной окружности основания.
Пусть это отношение было равно 
Продолжим луч O (O — центр сферы) и отметим точку 
так, чтобы 
Тогда перпендикуляры из на боковые ребра будут падать в 
то есть точка равноудалена от них. Поэтому ее проекция на плоскость LMN — центр описанной окружности треугольника 
Следовательно, O лежит на 
Тогда
Рассмотрим треугольник SHN. Пусть 
тогда 
(поскольку O равноудалена от ON и SN, она лежит на биссектрисе угла). Тогда
и
Ответ: 
Приведем другое решение.
Пусть сфера касается боковых ребер SL, SM, SN пирамиды в точках P, Q, T соответственно. O — центр сферы.
Тогда у пирамиды OPQT с основанием PQT боковые ребра равны как радиусы сферы. А значит, вершина O проектируется в центр описанной окружности (назовем K) около основания (действительно, прямоугольные треугольники PKO, QKO, TKO равны по гипотенузе и катету, а значит точка K равноудалена от каждой вершины основания PQT).
Но ведь тогда и, в обратную сторону, в пирамиде SPQT боковые ребра равны, раз ее вершина S спроектировалась в центр описанной окружности около основания.
А поскольку по условию точки касания сферы делят боковые ребра пирамиды в равных отношениях, считая от вершины S, то и LS = MS = NS, а также S проектируется в центр описанной окружности около треугольника LMN.
Ну и поскольку плоскости (PQT), (LMN) параллельны, то и точки S, K, O, H лежат на одной прямой.
Найдем радиус описанной окружности около основания LMN пирамиды SLMN, а так же площадь основания пирамиды.
По формуле Герона 
где 
имеем:
Тогда, пользуясь формулой нахождения радиуса описанной окружности около треугольника с площадью S и сторонами a, b, с: 
имеем:
Обратимся к прямоугольному треугольнику SMH. Как мы знаем, радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости, то есть OQ ꓕ SM. Тогда из равенства треугольников OMH и OMQ (по гипотенузе у катету) следует, что OM — биссектриса угла SMH.
Пусть 
Из треугольника OMH имеем:
Из треугольника SMH:
Как только мы найдем 
— мы будем знать высоту пирамиды (площадь основания мы уже знаем), тогда и объем будет найден. Итак,
Наконец, из треугольника SMH:
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |