РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505748 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 66

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы половинного аргумента, Формулы понижения степени, Формулы приведения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: синус 3x умножить на косинус x конец аргумента = синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Найдем ограничения на $x:$

$синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно 2 Пи n меньше или равно x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ $синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно 2 Пи n меньше или равно x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

Преобразуем заданное уравнение:

$синус 3x умножить на косинус x= синус в квадрате левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка синус 4x плюс синус 2x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1 минус косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно синус 4x плюс синус 2x минус 1 минус синус 2x=0 равносильно$ $синус 3x умножить на косинус x= синус в квадрате левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка синус 4x плюс синус 2x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1 минус косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно синус 4x плюс синус 2x минус 1 минус синус 2x=0 равносильно$

$равносильно синус 4x=1 равносильно 4x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z .$

Найдем пересечение полученных значений х с найденными ограничениями на $x.$ Искомыми значениями переменной окажутся числа вида: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z$ и $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$

б)  Выборка корней.

Заметим, что заданному промежутку $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка$ принадлежат лишь два корня: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби$ и $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505748

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 66

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505748	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$