PDF-версии: 
Целые числа от 1 до n записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат
а) при n = 9,
б) при n = 11,
в) при n = 1996.
Решение. а) Сумма числа 9 и числа, записанного под ним, заключена между 10 и 18. Так как на этом отрезке есть только один точный квадрат, под числом 9 должно быть записано число 7. Аналогично, число 7 должно быть записано над числом 9. Также проверяется, что под числами 4, 5 и 6 должны быть записаны числа 5, 4 и 3 соответственно. Теперь уже нетрудно получить ответ:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 8 | 2 | 6 | 5 | 4 | 3 | 9 | 1 | 7 |
б) Нетрудно видеть, что под числом 11 может быть записано только число 5, но под числом 4 тоже может быть записано только число 5. Противоречие.
в) Идея состоит в том, чтобы свести задачу к аналогичной задаче для меньшего n. Запишем под числом k число 2025 — k для всех k = 29, 30, ..., 1996. Тогда сумма чисел в каждом столбце начиная с 29-го равна 452, а числа от 1 до 28 остались «неиспользованными». Значит, задача сводится к случаю n = 28.
Далее под числами k = 21, 22, ..., 28 запишем числа 49 — k. Задача свелась к n = 20. Затем под числами
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |