Ре­ше­ние. а)  Угол ABP  — впи­сан­ный. Он из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной гра­дус­ной меры дуги АСР. Угол BDP как угол между двумя пе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся хор­да­ми окруж­но­сти из­ме­ря­ет­ся гра­дус­ной мерой по­лу­сум­мы дуг ВnР и АqС.

Но гра­дус­ные меры дуг ВnР и РmС равны, по­сколь­ку на них опи­ра­ют­ся рав­ные впи­сан­ные углы ВАР и САР. А сумма дуг AqC и CmP со­став­ля­ет дугу ACР.

Таким об­ра­зом, углы ABP и BDP из­ме­ря­ют­ся гра­дус­ной мерой одной и той же дуги и одной и той же окруж­но­сти. Зна­чит, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть ВD = x, тогда СD = 10 – х. По свой­ству бис­сек­три­сы внут­рен­не­го угла тре­уголь­ни­ка будем иметь: AB : AC = BD : CD, т. е.

Итак,

Вы­чис­лим длину бис­сек­три­сы AD тре­уголь­ни­ка АВС. Как из­вест­но, ее квад­рат можно вы­чис­лить по фор­му­ле:

Из­вест­но также свой­ство двух пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд одной и той же окруж­но­сти, со­глас­но ко­то­ро­му От­ку­да:

Тре­уголь­ни­ки ADB и BDP с ос­но­ва­ни­я­ми AD и PD имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этим ос­но­ва­ни­ям или к про­дол­же­нию од­но­го из них. Сле­до­ва­тель­но,

При­ме­ча­ние:

1.  Пред­по­ло­жим, что мы не пом­ним (не знаем) фор­му­лы квад­ра­та бис­сек­три­сы. В таком слу­чае как можно найти длину бис­сек­три­сы AD при ре­ше­нии дан­ной за­да­чи?

Можно так:

Про­ве­дем вы­со­ту ВК тре­уголь­ни­ка АВС к ос­но­ва­нию АС. Это с одной сто­ро­ны.

Но с дру­гой же сто­ро­ны, если то:

(числа 3; 4 и 5 – пи­фа­го­ро­ва трой­ка).

Итак,

Ответ: