РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505736 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 64

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Понижение порядка тригонометрического уравнения, Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы половинного аргумента

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $синус в квадрате x плюс косинус в квадрате 3x=1.$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .$

Решение. а)   В левой части уравнения воспользуемся формулами понижения степени:

$синус в квадрате x плюс косинус в квадрате 3x=1 равносильно дробь: числитель: 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1 плюс косинус 6x, знаменатель: 2 конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: 1 минус косинус 2x плюс 1 плюс косинус 6x, знаменатель: 2 конец дроби =1 равносильно$ $синус в квадрате x плюс косинус в квадрате 3x=1 равносильно дробь: числитель: 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1 плюс косинус 6x, знаменатель: 2 конец дроби =1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1 минус косинус 2x плюс 1 плюс косинус 6x, знаменатель: 2 конец дроби =1 равносильно$

$равносильно 2 плюс косинус 6x минус косинус 2x=2 равносильно косинус 6x минус косинус 2x=0 равносильно 2 синус 4x умножить на синус 2x=0 равносильно совокупность выражений новая строка синус 4x=0, новая строка синус 2x=0 конец совокупности . равносильно$ $равносильно 2 плюс косинус 6x минус косинус 2x=2 равносильно косинус 6x минус косинус 2x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус 4x умножить на синус 2x=0 равносильно совокупность выражений новая строка синус 4x=0, новая строка синус 2x=0 конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка 4x= Пи n,n принадлежит Z , новая строка 2x= Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 4 конец дроби ,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z . конец совокупности .$

Заметим, что серия корней $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z$ содержится в серии $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z .$ Следовательно, решениями исходного уравнения являются числа вида $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z .$

б)   $x_1= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $x_2= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $x_3= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус Пи ;$ $x_4= минус Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $x_5= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $x_6= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $x_7=0.$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $минус Пи ;$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $0.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505736

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $минус Пи ;$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $0.$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 64

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505736	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $минус Пи ;$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $0.$