Тип Д10 C2 № 505725 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
Дана треугольная пирамида ABCD с вершиной D, грани которой ABD и ACD — прямоугольные треугольники, ребро AD перпендикулярно медиане основания АК и AD = AK. Сечение пирамиды плоскостью, не проходящей через середины ребер AD и ВС, является равнобочная трапеция EFGH с основаниями EF и GH, причем точка Е делит ребро BD пополам, а точка G лежит на ребре АС и AG = 3GC. Найти отношение площади трапеции EFGH к площади грани BCD.
Решение. 
Докажем, что ребро AD перпендикулярно основанию пирамиды. Пусть это не так, тогда заметим, что лучи АВ и АС лежат по разные стороны от АК, и 
поэтому один из углов DAB или DAC — тупой. Но тогда один из треугольников ABD или ACD не может быть прямоугольным, что противоречит условию. Следовательно, AD перпендикулярно ABC.
Теперь докажем, что плоскость сечения параллельна ребру BC. Рассмотрим параллельные стороны сечения, они должны быть параллельны какому-то из ребер AD, BC, CD, AB (это следует из того, что две плоскости, проходящие через параллельные прямые пересекаются по прямой, параллельной данным прямым). Если прямая EF параллельна прямой CD, то F является серединой ребра BC, а это невозможно по условию. Пусть теперь прямая EF параллельна прямой AB, тогда F является серединой ребра AD, что также невозможно. Если прямая EF параллельна прямой AD, то трапеция прямоугольная, то есть не может быть равнобедренной. Значит, основания трапеции EFGH параллельны ребру BC.
Пусть далее 
1. Точка E — середина BD, прямая EF параллельна прямой BC, следовательно, F — середина DC. Пусть 
— проекции точек E и F на плоскость основания пирамиды. Тогда: 
т. к. трапеция равнобедренная, тогда 
и 
— равнобедренная трапеция. Тогда
и BAC — равнобедренный. Прямая AK — медиана равнобедренного треугольника, следовательно, прямая AK перпендикулярна прямой BC, и тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая DK перпендикулярна прямой BC.
2. Из треугольника DAK найдем 
тогда площадь треугольника BDC равна
3. Имеем: 
EN — высота трапеции EFGH, тогда прямая 
перпендикулярна прямой HG и прямая параллельна прямой AK. Далее,
тогда:
Найдем площадь трапеции EFGH:
4. В итоге получаем:
Ответ: 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Ответ: 
PDF-версии: