РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Дана бесконечная последовательность чисел $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_k,\ldots левая круглая скобка k принадлежит N правая круглая скобка ,$ в которой при каждом k член последовательности x_k является корнем уравнения $x в квадрате минус 2 умножить на 3 в степени k умножить на x плюс 9 в степени k =0.$

1.  Найдите наибольший порядковый номер k члена последовательности такой, что в десятичной записи числа x используется не более семи цифр.

2.  Укажите наименьшее натуральное число N, среди делителей которого содержится ровно 8 членов данной последовательности.

3.  Существует ли такое натуральное число n, что сумма n идущих подряд

членов этой последовательности равна некоторому члену этой последовательности.

4.  Существует ли набор из 2012 членов данной последовательности таких, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом.

Решение. 1.  Сразу заметим, что уравнение имеет единственный корень $x=3 в степени k .$ Следовательно, формула общего члена последовательности имеет вид $x_k=3 в степени k ,k принадлежит N .$

Для ответа на первый вопрос заметим, что $3 в степени 7 =2187,$ тогда число $3 в степени левая круглая скобка 15 правая круглая скобка =3 умножить на левая круглая скобка 3 в степени 7 правая круглая скобка в квадрате больше 3 умножить на 4 умножить на 10 в степени 6$ содержит в десятичной записи более семи цифр. Легко убедитьcя, что условию задачи удовлетворяет число $3 в степени левая круглая скобка 14 правая круглая скобка =4782969,$ то есть $k=14.$

2.  Число будет содержать среди делителей ровно 8 членов данной последовательности в случае, если его делителями являются первые 8 членов последовательности, а девятый уже не является. Следовательно, искомое натуральное число должно делиться на $3 в степени 8 =6561.$ Для того, чтобы оно было наименьшим, оно не должно иметь других делителей, то есть это число 6561.

3.  Нет. Предположим, что такой набор существует, то есть при некоторых значениях k и m имеет место равенство $3 в степени k плюс 3 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс 3 в степени левая круглая скобка k плюс n минус 1 правая круглая скобка =3 в степени m .$

По формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем 3 свернем левую часть последнего равенства. Тогда получаем равенство $3 в степени k умножить на дробь: числитель: 3 в степени n минус 1, знаменатель: 2 конец дроби =3 в степени m$ или $3 в степени n минус 1=2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка m минус k правая круглая скобка .$ Отсюда получаем равенство $3 в степени n минус 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка m минус k правая круглая скобка =1.$ Последнее равенство возможно только при выполнении условий $n=1$ и $m=k$ (иначе правая часть равна 1, а левая делится на 3), что не удовлетворяет условию задачи.

4.  Да, существует. Этому условию удовлетворяет любой набор, содержащий N членов (в том числе и 2012 членов) последовательности, каждый из которых имеет вид $3 в степени левая круглая скобка 2k плюс 1 правая круглая скобка .$ Тогда любой набор содержит минимальное число, которое при суммировании можно вынести за скобки и получится выражение вида $3 в степени левая круглая скобка 2m плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени левая круглая скобка 2a правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 2b правая круглая скобка плюс умножить на s правая круглая скобка ,$ которое не является квадратом.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ключ