PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет на отрезке 
ровно три корня.
Решение. Сделаем замену 
и получим квадратное относительно t уравнение 
На искомом интервале уравнение вида 
имеет либо 2 решения при 
либо одно при y=1 или -1, либо 3 решения при y=0. Таким образом, чтобы исходное уравнение имело 3 решения на данном отрезке, необходимо, чтобы одним из корней квадратного уравнения было число 1, 0 или -1. Заметим, что в случае 1 и -1, нам еще нужен второй корень из множества 
а в случае 0, нужно, чтобы других корней из множества 
у квадратного уравнения не было. Подставляя 0, 1 и -1 в квадратное уравнение, получим совокупность
Из первого уравнения 
Для каждого из трёх значений проверяем второй корень уравнения (если он есть) и получаем, что условиям задачи удовлетворяют только два значения: 
Решая третье уравнение, получаем 
После проверки (с помощью теоремы Виета найдём второй корень) остаётся только одно значение 
Предположим, что второе уравнение имеет некоторое решение. Тогда второй корень квадратного уравнения, найденный по теореме Виета, равен 
и должен находиться в интервале (-1;1). Но в этом случае левая часть второго уравнения совокупности положительна при 
значит, решать второе уравнение не имеет смысла.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |