РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505712 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 60

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка умножить на синус x= синус 2x плюс косинус x;$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. a)  Последовательно получаем:

$левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка умножить на синус x= синус 2x плюс косинус x равносильно$

$равносильно синус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка минус косинус x минус 2 синус x умножить на косинус x=0 равносильно синус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка минус косинус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка =0 равносильно$ $равносильно синус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка минус косинус x минус 2 синус x умножить на косинус x=0 равносильно$
$равносильно синус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка минус косинус x умножить на левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус x= косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$ $равносильно левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус x= косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)   Выборка корней.

Из серии корней $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z :$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 9 меньше или равно минус 1 плюс 12n меньше или равно 6 равносильно минус 8 меньше или равно 12n меньше или равно 7 равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 12n меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби равносильно n=0.$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 9 меньше или равно минус 1 плюс 12n меньше или равно 6 равносильно$
$равносильно минус 8 меньше или равно 12n меньше или равно 7 равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 12n меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби равносильно n=0.$

При $n=0 x_1= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Из серии корней $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z :$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 9 меньше или равно минус 5 плюс 12n меньше или равно 6 равносильно$
$равносильно минус 4 меньше или равно 12n меньше или равно 11 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 12n меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби равносильно n=0.$

При $n=0$ $x_2= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Из серии корней $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z :$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 6 меньше или равно 1 плюс 4n меньше или равно 4 равносильно минус 7 меньше или равно 4n меньше или равно 3 равносильно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 1, новая строка n=0. конец совокупности .$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 6 меньше или равно 1 плюс 4n меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно минус 7 меньше или равно 4n меньше или равно 3 равносильно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 1, новая строка n=0. конец совокупности .$

При $n= минус 1$ $x_3= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ при $n=0x_4= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ; левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505712

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ; левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 60

Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505712	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ; левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$