РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Даны N синих и N красных палочек, причем сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить N‐угольник, и из красных  — тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю  — в красный цвет, а красную  — в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить N‐угольник, и из красных  — тоже?

Решите задачу

а)  для N = 3;

б)  для произвольного натурального N > 3.

Решение. а)  Пусть длины синих палочек 12, 17, 20, а красных  — 2, 23, 24. Поскольку единственная пара с разностью, меньшей 2,  — это (23, 24), а после перекрашивания палочка 2 попадет в другую по составу тройку, то в ней разность наибольших сторон будет больше 2, и треугольник сложить будет нельзя.

б)  Пусть k  =  N − 2. Составим набор из двух синих палочек длины 12k + 5 и 24k − 4 и k палочек длины 12; двух «длинных» красных палочек длины 24k – 1 и 24k и k палочек длины 2/k. Если перекрашена одна из двух «длинных» красных палочек, то разность между длинными красными палочками после перекрашивания больше 2, и палочками длины 2/k её не покрыть. Пусть синей стала палочка длины 2/k. Если палочка длины 24k − 4 осталась синей, то сумма остальных синих не превосходит 2/k + 12(k − 1)−+ 12k + 5 < 24k − 4. Если палочка длины 24k − 4 стала красной, то наибольшей синей стала палочка длины 12k + 5, но сумма остальных синих 12k +2/k < 12k + 5. В обоих случаях синий многоугольник не складывается.

Ответ: а) не всегда б) не всегда.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505699	а) не всегда б) не всегда.

Ключ