Тип Д10 C2 № 505695 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
У Северного полюса, на острове Шпицберген в чертогах Снежной королевы хранился небывалой красоты ледяной алмаз в форме тетраэдра SABC. В Новогоднюю ночь злой тролль похитил часть алмаза, и эта часть имеет форму тетраэдра SAKM. Его верные ученики и от оставшейся части взяли себе кусок и тоже в форме тетраэдра — KABC. Снежной королеве осталась часть алмаза, и она имеет форму тетраэдра CAKM. Какую часть первоначального алмаза оставили Снежной королеве тролль и ученики? В треугольнике ABC угол B равен 90°, AB = 3, BC = 4, AS перпендикулярно плоскости ABC, AS = 4, AK перпендикулярно SB, AM перпендикулярно SC.
Решение. 
Заметим, что M лежит на ребре SC, K — на ребре SB и являются основаниями соответствующих высот.
Поскольку прямая CB перпендикулярна прямым AB и CB, она перпендикулярна плоскости ABS. Плоскости ABS и CBS пересекаются по прямой BS, перпендикулярной AK, поэтому прямая AK перпендикулярна плоскости CBS.
Следовательно, тетраэдры SABC и CAKM имеют общую высоту AK, поэтому их объемы относятся как их основания.
Отрезок AK — высота прямоугольного треугольника ABS, проведенная к гипотенузе BS. Поэтому 
и 
Далее, отрезок AM — высота прямоугольного треугольника CAS, проведенная к гипотенузе CS. Поэтому 
и 
Итак, 
откуда 
Ответ: 
Укажем другой подход.
Найдем, какую часть объема исходного тетраэдра SABC составляют отсеченные тетраэдры KABC и SAKM.
Тетраэдры SABC и KABC имеют общее основание, поэтому их объемы относятся как их высоты. Высоты, в свою очередь, относятся как гипотенузы соответствующих подобных треугольников:
(использовано свойство прямоугольного треугольника, см. примечание).
Далее,
Найдем, какую часть объема составляет оставшаяся часть тетраэдра:
Приведем ещё одно решение.
Объемы тетраэдров с сонаправленными ребрами относятся как произведения этих ребер. Поэтому:
Аналогично,
Тогда
Примечание 1.
(*) Во всех решениях использована следующая теорема: в прямоугольном треугольнике с катетами а и b и гипотенузой с, высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 
и 
Отношение этих отрезков к гипотенузе равны 
и 
Примечание 2.
В последнем решении можно было бы заметить, что 
откуда следует общая формула для ответа:
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Ответ: 
PDF-версии: