РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 505689 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 56

Классификатор стереометрии: Прямая призма, Угол между плоскостями

Сложная стереометрия. Многогранники

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD со стороной $корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента$ и углом А, равным $60 градусов.$ На ребрах AB, B₁C₁ и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE, B₁F = FC₁ и DG = 3GC. Найдите косинус угла между плоскостями EFG и ABC, если высота призмы равна 4,5.

Решение. Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке. Прежде чем искать координаты нужных точек, найдем некоторые параметры (элементы) призмы. Поскольку $\Delta DAB$ равнобедренный, $\angle DAB=60 градусов,$ то $\Delta DAB$   — равносторонний, следовательно, DE  — высота $\Delta DAB.$ Значит, $DE= дробь: числитель: AB корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Пусть K  — середина DE, F₁  — проекция точки F на плоскость нижнего основания.

$DG= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ,\rho левая круглая скобка F;D_1C_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: DE, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ,KF_1= дробь: числитель: BE плюс CD, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$ $DG= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ,\rho левая круглая скобка F;D_1C_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: DE, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ,KF_1=$
$= дробь: числитель: BE плюс CD, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Теперь выпишем координаты нужных точек.

$E левая круглая скобка дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;0;0 правая круглая скобка ,F левая круглая скобка дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,G левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$

Уравнение плоскости ABC выглядит так: z = 0, ее нормальный вектор $\overline n_1= левая круглая скобка \overline0;0;1 правая круглая скобка .$

Теперь составим уравнение плоскости EFG. Общий вид искомого уравнения:

ax + by + cz + d = 0. Для отыскания значений a, b, c решим систему уравнений:

$система выражений новая строка дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби a плюс d=0 , новая строка дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби a плюс дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби b плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби c плюс d=0 , новая строка дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби b плюс d=0 . конец системы .$

Отсюда: $a= минус дробь: числитель: 2d, знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби ,b= минус дробь: числитель: 4d, знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента конец дроби .$

Найдем значение c.

$минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2d, знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 4d, знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби c плюс d=0 равносильно минус дробь: числитель: d, знаменатель: 2 конец дроби минус d плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби c плюс d=0 равносильно дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби c= дробь: числитель: d, знаменатель: 2 конец дроби равносильно c= дробь: числитель: d, знаменатель: 9 конец дроби .$ $минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2d, знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби минус дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 4d, знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби c плюс d=0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: d, знаменатель: 2 конец дроби минус d плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби c плюс d=0 равносильно дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби c= дробь: числитель: d, знаменатель: 2 конец дроби равносильно c= дробь: числитель: d, знаменатель: 9 конец дроби .$

Итак, уравнение плоскости EFG имеет вид: $минус дробь: числитель: 2d, знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби x минус дробь: числитель: 4d, знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента конец дроби y плюс дробь: числитель: d, знаменатель: 9 конец дроби z плюс d=0$ или

$дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби x плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби y минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби z минус 1=0 равносильно$
$равносильно 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x плюс 12y минус корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента z минус 9 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента =0 равносильно 6x плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента y минус корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента z минус 9 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента =0.$ $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби x плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби y минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби z минус 1=0 равносильно$
$равносильно 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x плюс 12y минус корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента z минус 9 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно 6x плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента y минус корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента z минус 9 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента =0.$

Нормальный вектор этой плоскости: $\overlinen_2= левая круглая скобка \overline6;4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; минус корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка .$

$косинус \varphi = дробь: числитель: \left| \overlinen_1 умножить на \overlinen_2 |, знаменатель: \left| \overlinen_1 | умножить на \left| \overlinen_2 | конец дроби = дробь: числитель: \left| 0 умножить на 6 плюс 0 умножить на 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 умножить на корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента |, знаменатель: 1 умножить на корень из: начало аргумента: 36 плюс 48 плюс 7 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 91 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби .$

505689

$дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 56

Методы геометрии: Метод координат

Классификатор стереометрии: Прямая призма, Угол между плоскостями

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505689	$дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби .$