РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Для любого натурального числа n через $S левая круглая скобка n правая круглая скобка$ обозначим такое наибольшее натуральное число, что для любого натурального числа k, не превосходящего $S левая круглая скобка n правая круглая скобка ,$ число $n в квадрате$ представимо в виде суммы k квадратов натуральных чисел.

а)  Докажите для любого $n больше 3$ неравенство $S левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше n в квадрате – 13.$

б)  Найдите хотя бы одно такое натуральное число n, что $S левая круглая скобка n правая круглая скобка = n в квадрате – 14.$

в)  Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что $S левая круглая скобка n правая круглая скобка = n в квадрате – 14.$

Решение. а)  Пусть $n в квадрате$ может быть представлено в виде суммы $k=n в квадрате минус 13$ квадратов: Вычитая k единиц, получаем равенство: $13= левая круглая скобка a_1 в квадрате минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_2 в квадрате минус 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс левая круглая скобка a_k в квадрате минус 1 правая круглая скобка .$ Получается, что 13 можно представить как суммы чисел, на единицу меньших, чем квадрат, то есть чисел вида: 0, 3, 8, 15, …. Но это, очевидно, не так! Поэтому, $S левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше или равно n в квадрате минус 14.$

б)  Так как $n\geqslant4$ то $n в квадрате минус 14\geqslant2,$ то есть необходимо, чтобы $n в квадрате$ было представимо в виде суммы двух квадратов. Хорошо, известно, что в этом случае n само должно быть равно сумме двух неравных квадратов. Несколько первых таких $n:$ 5, 10, 13, 17.

5 и 10 не годятся, так как 25 и 100 не представимы в виде суммы трех квадратов. Докажем, что $S левая круглая скобка 13 правая круглая скобка =13 в квадрате минус 14=155.$ Cначала заметим, что если число можно записать в виде суммы k квадратов, среди которых есть четный, то его можно представить в виде суммы $k плюс 3$ квадратов, так как $левая круглая скобка 2m правая круглая скобка в квадрате =m в квадрате плюс m в квадрате плюс m в квадрате плюс m в квадрате .$ Если таким образом последовательно расщеплять квадраты в равенстве $13 в квадрате =8 в квадрате плюс 8 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 3 в квадрате$ то можно получить представления числа $13 в квадрате$ в виде суммы 5, 8, 11, … 155 квадратов. Аналогично, из равенства $13 в квадрате =8 в квадрате плюс 8 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 1 в квадрате$ получаем представления числа $13 в квадрате$ в виде суммы 7, 10, 13, … 154 квадратов. Из равенства $13 в квадрате =8 в квадрате плюс 8 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 3 в квадрате плюс 3 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 1 в квадрате .$ получаем представления числа $13 в квадрате$ в виде суммы 9, 12, 15, … 153 квадратов.

Теперь выпишем представления $13 в квадрате$ в виде суммы k квадратов для оставшихся $k.$

$k=1: 13 в квадрате =13 в квадрате .$

$k=2: 13 в квадрате =5 в квадрате плюс 12 в квадрате .$

$k=3: 13 в квадрате =3 в квадрате плюс 4 в квадрате =12 в квадрате .$

$k=4: 13 в квадрате =10 в квадрате плюс 8 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 1 в квадрате .$

$k=6: 13 в квадрате =3 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 12 в квадрате .$

в)  Заметим, что любое $m больше или равно 14$ представимо как сумма чисел вида $x в квадрате минус 1,$ то есть чисел 0, 3, 8, 15 ...(числа могут повторяться). Докажем теперь, что если $N\geqslant28$ и $N/2 меньше или равно k меньше или равно N минус 14,$ то N можно представить в виде суммы k квадратов. Действительно, условие $N=a_1 в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс умножить на s плюс a_k в квадрате$ эквивалентно условию $N минус k=a_1 в квадрате минус 1 плюс a_2 в квадрате минус 1 плюс умножить на s плюс a_k в квадрате минус 1.$ А условие $N/2 меньше или равно k меньше или равно N минус 14$   — условию $14 меньше или равно N минус k меньше или равно k.$ Так как $N минус k больше или равно 14,$ то $N минус k$ представимо как сумма чисел вида $x в квадрате минус 1,$ причём слагаемых не более $N минус k,$ то есть не более $k.$ Добавляя слагаемые $0 в квадрате минус 1 в квадрате минус 1,$ можно сделать их количество равным $k.$ Осталось доказать, что если $S левая круглая скобка n правая круглая скобка =n в квадрате минус 14,$ то $S левая круглая скобка 2n правая круглая скобка = левая круглая скобка 2n правая круглая скобка в квадрате минус 14.$ Действительно, если верно равенство: $n в квадрате =a_1 в квадрате плюс a_2 в квадрате плюс умножить на s плюс a_k в квадрате ,$ то расщепляя слагаемые в равенстве $левая круглая скобка 2n правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2a_1 правая круглая скобка в квадрате плюс умножить на s плюс левая круглая скобка 2a_k правая круглая скобка в квадрате ,$ получим представление числа $левая круглая скобка 2n правая круглая скобка в квадрате$ в виде суммы $k,k плюс 3,k плюс 6,\ldots,4k$ квадратов. Отправляясь таким образом от представлений числа $n в квадрате$ в виде суммы $1,2,\ldots,4S левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 6=4n в квадрате минус 62$ квадратов, получаем представление числа в виде суммы квадратов. Теперь «сцепим» две полученные цепочки значений $k.$ Это можно сделать при выполнении условий:

$n больше или равно 13;4n в квадрате больше или равно 28;4n в квадрате минус 61 больше или равно дробь: числитель: 4n в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .$

Все эти условия выполняются при $n больше или равно 13.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ключ