РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 505671 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 53

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем как сумма объемов частей, Объем тела, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, Треугольная пирамида

Сложная стереометрия. Круглые тела

Дана пирамида SABC, точки D и E лежат соответственно на ребрах SA и SB, причем SD : DA  =  1 : 2 и SE : EB  =  1 : 2. Через точки D и E проведена плоскость, параллельная ребру SC. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Решение. Построим сначала сечение пирамиды этой плоскостью. Для этого проведем в гранях SAC и SBC прямые, параллельные SC и проходящие через точки D и E. Пусть они пересекают AC и BC в точках G и F соответственно. Тогда DEFG  — искомое сечение. Из параллельности, кроме того, следует, что $CG:GA=CF:FB=1:2.$ Найдем теперь объем одной из частей, выразив его через объем всей пирамиды:

$V_DAGFB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на d левая круглая скобка D,ABFG правая круглая скобка умножить на S_ABGF= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка S,ABC правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка S_ABC минус S_CFG правая круглая скобка =$

$= дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби d левая круглая скобка S,ABC правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби S_ABC= дробь: числитель: 16, знаменатель: 27 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка S,ABC правая круглая скобка умножить на S_ABC= дробь: числитель: 16, знаменатель: 27 конец дроби V_SABC.$

$V_DBEF= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на d левая круглая скобка D,EBF правая круглая скобка умножить на S_EBF= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка A,SBC правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби S_SBC=$

$= дробь: числитель: 4, знаменатель: 27 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка A,SBC правая круглая скобка умножить на S_SBC= дробь: числитель: 4, знаменатель: 27 конец дроби V_SABC.$

$V_AGFBDE=V_DAGFB плюс V_DEBF= дробь: числитель: 20, знаменатель: 27 конец дроби V_SABC.$

Поэтому отношение объемов равно 7 : 20.

Ответ: 7 : 20.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: 7 : 20.

505671

7 : 20.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 53

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505671	7 : 20.