PDF-версии: 
На ребрах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечены соответственно точки E и F такие, что AE = 2A1E, CF = 2C1F. Через точки B, E и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку B1, к объему всего куба.
Решение. Для удобства будем считать, что куб единичный. Тогда отрезки AE и CF равны по
В плоскости грани ABB1A1 продолжим прямую BE до пересечения с прямой A1B1, в плоскости грани BB1С1С продолжим прямую BF до пересечения с прямой B1C1. Полученные точки P и S лежат в одной плоскости грани A1B1C1D1. Соединяя их, получим точки M и N, как пересечения PS с ребрами A1D1 и D1C1 соответственно. Осталось соединить все точки, и в сечении получается пятиугольник BEMNF.
Треугольники A1PE и ABE подобны по 2 углам (∠PEA1 = ∠BEA, как вертикальные; ∠PA1E = ∠EAB = 90°), тогда
Аналогично 
Далее, треугольники PA1M и PB1S подобны по 2-м углам, откуда получим:
Аналогично 
Объем нужной нам части можно найти, как разность объемов прямоугольной пирамиды 
и прямоугольных пирамид 
и 
(так как эти малые пирамиды равны, то можно просто вычесть 2 объема одной пирамиды):
Тогда получим:
Ответ: 25 : 72.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |