РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505664 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 52

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла, Формулы понижения степени

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $2 синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби плюс тангенс x минус 1=0.$

б)  Найдите все корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус Пи ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Ограничения на $х:$ $косинус x не равно 0 равносильно x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ Для таких $х$ имеем:

$2 синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби плюс tgx минус 1=0 равносильно 2 синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби плюс дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби минус 1=0 равносильно$

$равносильно 2 синус x умножить на косинус x минус 1 плюс синус x минус косинус x=0 равносильно 2 синус x умножить на косинус x минус синус в квадрате x минус косинус в квадрате x плюс синус x минус косинус x=0 равносильно$ $равносильно 2 синус x умножить на косинус x минус 1 плюс синус x минус косинус x=0 равносильно$
$равносильно 2 синус x умножить на косинус x минус синус в квадрате x минус косинус в квадрате x плюс синус x минус косинус x=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 минус синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0.$ $равносильно левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 минус синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0.$

Решим уравнения:

$синус x минус косинус x=0 равносильно синус x= косинус x равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$

$1 минус синус x плюс косинус x=0 равносильно 2 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно$

$равносильно 2 косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 новая строка синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи плюс 2 Пи n, новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

Серия корней $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z$ относится к числу посторонних.

б)  Выборка корней.

Из серии $Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z :$

$минус Пи меньше или равно Пи плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 1 меньше или равно 1 плюс 2n меньше или равно 1 равносильно минус 2 меньше или равно 2n меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно n меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 1, новая строка n=0. конец совокупности .$ $минус Пи меньше или равно Пи плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 1 меньше или равно 1 плюс 2n меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно минус 2 меньше или равно 2n меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно n меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 1, новая строка n=0. конец совокупности .$

Из серии $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z :$

$минус Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 4 меньше или равно 1 плюс 4n меньше или равно 4 равносильно минус 5 меньше или равно 4n меньше или равно 3 равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 1, новая строка n=0. конец совокупности .$ $минус Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 4 меньше или равно 1 плюс 4n меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно минус 5 меньше или равно 4n меньше или равно 3 равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 1, новая строка n=0. конец совокупности .$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ; Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505664

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ; Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 52

Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла, Формулы понижения степени

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505664	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ; Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи .$