РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 505661 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 51

Методы геометрии: Теорема синусов, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника

Сложная планиметрия. Окружности

В треугольнике KLM угол L тупой, а сторона KM равна 6. Центр O окружности, проходящей через вершины K, M и точку пересечения высот треугольника KLM лежит на окружности, описанной около треугольника KLM.

а)  Докажите, что угол KOM равен 120°.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KLM.

Решение. а)  Углы KOM и KLM равны, так как они опираются на одну и ту же дугу KM в окружности $\Theta_2.$ Обозначим угол KLM как $альфа .$ Углы KLM и CLB равны, как вертикальные, то есть $\angle CLB = альфа .$ Так как вписанный угол KAM и центральный угол KOM опираются на одну и ту же дугу KM в окружности $\Theta_1,$ то $\angle KAM = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle KOM = дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби .$ В четырехугольнике ACLB углы ACL и ABL равны по $90 градусов,$ поэтому

$\angle CAB плюс \angle CLB = 180 градусов\Rightarrow дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа = 180 градусов$

$равносильно дробь: числитель: 3 альфа , знаменатель: 2 конец дроби = 180 градусов равносильно альфа = 120 градусов.$

Значит, $\angle KLM = \angle KOM = 120 градусов.$ Что и требовалось доказать.

б)  По теореме синусов получаем:

$дробь: числитель: KM, знаменатель: синус \angle KLM конец дроби = 2R\RightarrowR = дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: $R = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $R = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

505661

$R = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 51

Методы геометрии: Теорема синусов, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505661	$R = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$