Ре­ше­ние. Центр впи­сан­ной в угол окруж­но­сти лежит на бис­сек­три­се угла. Для ре­ше­ния за­да­чи до­ка­жем сле­ду­ю­щую лемму.

Лемма: точка O при­над­ле­жит сто­ро­не AB, то есть AB яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла DAF.

До­ка­за­тель­ство: во-пер­вых, из свойств се­ку­щих к окруж­но­сти по­лу­чим:

Тогда тре­уголь­ни­ки ABD и EBC по­доб­ны (угол ABD общий). Тогда ∠BDA = ∠BCE = β, ∠BAD = ∠BEC = γ.

Во-вто­рых, угол между дугой и ка­са­тель­ной равен впи­сан­но­му углу, опи­ра­ю­ще­му­ся на дан­ную хорду, от­ку­да ∠BFA = ∠ABD  =  α.

Далее, цен­траль­ный угол AO₂B в 2 раза боль­ше впи­сан­но­го угла AFB, по­это­му Так как тре­уголь­ник AO₂B рав­но­бед­рен­ный (AO₂  =  O₂B  =  R₁), то

Ана­ло­гич­но для угла ACE:

Углы и равны, как вер­ти­каль­ные, и по­то­му по­лу­ча­ем:

От­сю­да по­лу­ча­ем, что а зна­чит точка O лежит на сто­ро­не AB. Лемма до­ка­за­на.

Из леммы по­лу­чи­ли:

Тогда и тре­уголь­ни­ки AEC и EBC по­доб­ны по 2-м углам, от­ку­да вы­пи­шем со­от­но­ше­ния:

Из ра­вен­ства пер­вой и тре­тьей дро­бей по­лу­чим:

Тогда

Про­ве­дем до­пол­ни­тель­но от­ре­зок EO  — он яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла BEA, а зна­чит и бис­сек­три­сой тре­уголь­ни­ка ABE. Тогда по свой­ству бис­сек­три­сы в тре­уголь­ни­ке имеем:

Тре­бу­е­мое до­ка­за­но.

Ответ: 6.