РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505634 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 47

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка, Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов, Формулы половинного аргумента

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение: $2 косинус 2x минус 1= левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на тангенс x.$

б)Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$

Решение. a)  Ограничения на $x:$ $косинус x не равно 0 равносильно x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ Для таких значений x будем иметь:

$2 косинус 2x минус 1= левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби равносильно косинус x умножить на левая круглая скобка косинус 2x плюс левая круглая скобка косинус 2x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = синус x умножить на левая круглая скобка косинус 2x плюс левая круглая скобка косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$ $2 косинус 2x минус 1= левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби равносильно$
$равносильно косинус x умножить на левая круглая скобка косинус 2x плюс левая круглая скобка косинус 2x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = синус x умножить на левая круглая скобка косинус 2x плюс левая круглая скобка косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$

$равносильно косинус x умножить на левая круглая скобка косинус 2x минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка = синус x умножить на левая круглая скобка косинус 2x плюс 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно косинус x умножить на косинус 2x минус 2 синус в квадрате x умножить на косинус x= синус x умножить на косинус 2x плюс 2 синус x умножить на косинус в квадрате x равносильно$

$равносильно косинус x умножить на косинус 2x минус 2 синус x умножить на косинус x умножить на синус x= синус x умножить на косинус 2x плюс 2 синус x умножить на косинус x умножить на косинус x равносильно$

$равносильно косинус x умножить на косинус 2x минус синус 2x умножить на синус x= синус x умножить на косинус 2x плюс синус 2x умножить на косинус x равносильно косинус левая круглая скобка 2x плюс x правая круглая скобка = синус левая круглая скобка x плюс 2x правая круглая скобка равносильно$ $равносильно косинус x умножить на косинус 2x минус синус 2x умножить на синус x= синус x умножить на косинус 2x плюс синус 2x умножить на косинус x равносильно$
$равносильно косинус левая круглая скобка 2x плюс x правая круглая скобка = синус левая круглая скобка x плюс 2x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно косинус 3x= синус 3x равносильно 3x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,n принадлежит Z .$

б)  Выборку корней сделаем с помощью перебора различных значений $n принадлежит Z .$

При $n=0$ $x_1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби ;$ при $n=1$ $x_2= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ;$ при $n=2$ $x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби больше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ При $n= минус 1$ $x_3= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ при $n= минус 2$ $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 12 конец дроби меньше минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Дальнейшие поиски корней не имеют смысла.

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Замечание.

Нахождение корней заданного уравнения можно провести и так:

$2 косинус 2x минус 1= левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на тангенс x равносильно левая круглая скобка 2 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка плюс 1 минус левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 2 минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби =0 равносильно$ $2 косинус 2x минус 1= левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на тангенс x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка плюс 1 минус левая круглая скобка 2 косинус 2x плюс 2 минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка минус 4 синус в квадрате x плюс 1 правая круглая скобка умножить на косинус x минус левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка умножить на синус x=0 равносильно$

$равносильно косинус x минус 4 синус в квадрате x умножить на косинус x минус 4 синус x умножить на косинус в квадрате x плюс синус x=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка минус 4 синус x умножить на косинус x умножить на левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 минус 4 синус x умножить на косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$ $равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка минус 4 синус x умножить на косинус x умножить на левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 минус 4 синус x умножить на косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус 2x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка синус x= минус косинус x, новая строка синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$

$совокупность выражений новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка 2x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

Полученные серии корней можно объединить в одну серию: $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,n принадлежит Z .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505634

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 47

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505634	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$