РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505622 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 46

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Введение замены

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: косинус правая круглая скобка в квадрате x, знаменатель: косинус x плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 4 минус x конец аргумента в квадрате конец дроби .$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус 1; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)   Найдем ограничения на $х:$

$система выражений новая строка косинус x не равно минус 1, новая строка x в квадрате минус 4 меньше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка косинус x не равно минус 1, новая строка минус 2 меньше x меньше 2. конец системы . равносильно минус 2 меньше x меньше 2.$

Для таких $x:$

$дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: косинус в квадрате x, знаменатель: косинус x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка 4 минус x в квадрате =1, новая строка дробь: числитель: косинус в квадрате x, знаменатель: косинус x плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Корнями уравнения $4 минус x в квадрате =1$ являются числа $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и $минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ которые принадлежат интервалу $левая круглая скобка минус 2;2 правая круглая скобка .$

Теперь решим уравнение $дробь: числитель: косинус в квадрате x, знаменатель: косинус x плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби :$

$2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1=0 равносильно косинус x= дробь: числитель: 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 8 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно косинус x= дробь: числитель: 1\pm 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=1, новая строка косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно равносильно совокупность выражений новая строка x=2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . .$

С учетом ограничений на $x:$

Из серии полученных решений $2 Пи n,n,n принадлежит Z ,$ единственное число 0 принадлежит интервалу $левая круглая скобка минус 2;2 правая круглая скобка .$ При значениях n, равных $\pm 1;\pm 2;...$ значения x окажутся за границами интервала $левая круглая скобка минус 2;2 правая круглая скобка .$

Из серии решений $\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z$ не найдется ни единого значения переменной на интервале $левая круглая скобка минус 2;2 правая круглая скобка ,$ так как даже при $n=0$ $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби больше дробь: числитель: 6,28, знаменатель: 3 конец дроби больше 2.$ Аналогично $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 6,28, знаменатель: 3 конец дроби меньше минус 2.$ Итак, общими решениями заданного уравнения являются числа: $0;\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

б)   Ясно, что $минус 1 меньше 0 меньше Пи , минус 1 меньше корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше 3,14 меньше Пи , минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше минус 1.$ Значит, искомыми корнями являются числа: 0 и $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: а) $0;\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;$ б) $0; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505622

а) $0;\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;$ б) $0; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 46

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505622	а) $0;\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;$ б) $0; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$