PDF-версии: 
Дано иррациональное число a, такое что 
По нему определяется новое число 
как меньшее из двух чисел 
и 
По этому числу аналогично определяется 
и так далее.
а) Докажите, что для некоторого n выполнено неравенство 
б) Может ли случиться, что 
при всех натуральных 
Решение. а) Если б) Для построения примера будем использовать двоичную запись числа. Иррациональные числа, как и в случае десятичной записи, представляются бесконечными непериодическими дробями. Рассмотрим иррациональное число Действительно 
то 
Если 
то каждый шаг удваивает отклонение от 
(где 
), 
Если это число всё ещё больше 1/4, повторим процедуру, что возможно, так как нужное условие 
опять выполняется. Если 
то уже 
Если 
будем увеличивать отклонение от 1/5: 
(где 
), 
Если это число всё ещё больше 3/16, повторим процедуру, что возможно, так как опять выполняется условие 3/16
Оно устроено так: после запятой идет группа (0011), потом группа 00101101, потом два раза группа (0011), потом снова 00101101, потом три раза группа (0011) и т. д. Покажем, что число a дает необходимый пример.
для всех натуральных 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |