Ре­ше­ние. а)  Точки, ле­жа­щие на бис­сек­три­се угла, рав­но­уда­ле­ны от сто­рон этого угла. По­это­му точка Е рав­но­уда­ле­на от пря­мых AD, AB и от пря­мых AB и BC. Сле­до­ва­тель­но, точка Е на­хо­дит­ся на рав­ном рас­сто­я­нии от пря­мых AD и BC.

(Дру­ги­ми сло­ва­ми пер­пен­ди­ку­ля­ры EM и EN, про­ве­ден­ные со­от­вет­ствен­но к сто­ро­нам угла A, равны, и пер­пен­ди­ку­ля­ры EN и EK, про­ве­ден­ные к сто­ро­нам BA и BC со­от­вет­ствен­но, равны. По­это­му EM = EK.)

б)  Пусть Про­ведём от­ре­зок A₁B₁ через точку E так, чтобы A₁B₁ был па­рал­ле­лен AB. В тра­пе­ции A₁ABB₁ по свой­ству углов, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не, По при­зна­ку впи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD сле­до­ва­тель­но:

Ана­ло­гич­но для углов и по­лу­ча­ем

Для тре­уголь­ни­ка A₁EA при­ме­ним тео­ре­му о сумме углов. За­пи­шем:

от­ку­да AA₁  =  A₁E по об­рат­ной тео­ре­ме о рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке. Ана­ло­гич­но для тре­уголь­ни­ка BEB₁:

и EB₁  =  BB₁.

Тре­уголь­ни­ки A₁ME и CKE равны по двум углам и сто­ро­не тогда A₁D  =  B₁C как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты. Тре­уголь­ни­ки A₁DE и ECB₁ равны по двум углам и сто­ро­не тогда EB₁  =  DE как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты.

Рас­смот­рим от­рез­ки AD и BC:

зна­чит,

Из пунк­та а) EM  =  EK, тогда по тео­ре­ме о пло­ща­дях тре­уголь­ни­ков с рав­ны­ми вы­со­та­ми для тре­уголь­ни­ков ADE и BCE по­лу­ча­ем:

Ответ: 1 : 2.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние пунк­та б).

Обо­зна­чим ME = EK = r и вы­ра­зим пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков:

Вы­ра­зим через углы и сто­ро­ны AD, BC и DC, пред­ва­ри­тель­но найдя углы в дан­ном че­ты­рех­уголь­ни­ке:

Из тре­уголь­ни­ков AME и BEK со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем:

Из тре­уголь­ни­ка MDE:

Из тре­уголь­ни­ка CKE:

Тогда

Пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния для сто­рон:

Тогда по­лу­чим:

Вос­поль­зу­ем­ся в чис­ли­те­ле и зна­ме­на­те­ле сле­ду­ю­щей фор­му­лой: от­ку­да по­лу­чим:

Оста­лось вос­поль­зо­вать­ся тем, что DC : BC = 3 : 2:

Обо­зна­чим для со­кра­ще­ния за­пи­си: Тогда:

Под­ста­вим z в ис­ко­мую дробь и по­лу­чим:

В итоге по­лу­чи­ли:

Ответ: 1 : 2.