РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 505601 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружности

Сложная планиметрия. Окружности

Точки A, B, C лежат на окружности радиуса 2 с центром O, а точка K  — на прямой, касающейся этой окружности в точке B, причем угол AKC равен 46°, а длины отрезков AK, BK, CK образуют возрастающую геометрическую прогрессию ( в указанном порядке).

а)  Докажите, что углы ACK и AOK равны.

б)  Найдите расстояние между точками A и C.

Решение. a)  С учетом того, что отрезки AK, BK и CK составляют геометрическую прогрессию, введем обозначения: $AK = x, BK = kx, CK = k в квадрате x.$ Из свойств касательной и секущей к окружности получим:

$BK в квадрате = KD умножить на KC \Rightarrow левая круглая скобка kx правая круглая скобка в квадрате = KD умножить на k в квадрате x\RightarrowKD = x.$

Отсюда следует, что KD = AK, то есть треугольник AKD равнобедренный. Тогда:

$\angleKDA = \angleKAD = дробь: числитель: 180 градусов минус 46 градусов, знаменатель: 2 конец дроби = 67 градусов.$

Далее, треугольники ODK и OAK равны по 3-м сторонам (DK = AK, AO = DO  — радиус, OK  — общая). Отсюда $\angleDOK = \angleAOK,$ то есть OK  — биссектриса угла AOD. Вписанный угол ACD опирается на дугу AD и равен половине центрального угла AOD, то есть $\angleACD = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angleAOD = \angleAOK.$ Что и требовалось доказать.

б)  Заметим, что данная окружность описана вокруг треугольника ADC, откуда по теореме синусов следует:

$дробь: числитель: AC, знаменатель: синус \angleADC конец дроби = 2R\RightarrowAC = 2 умножить на 2 умножить на синус левая круглая скобка 180 градусов минус 67 градусов правая круглая скобка равносильно AC = 4 синус 67 градусов.$

Ответ: $4 синус 67 градусов.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $4 синус 67 градусов.$

505601

$4 синус 67 градусов.$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружности

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505601	$4 синус 67 градусов.$