Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а бо­ко­вые рёбра 8. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM  — точка L. Из­вест­но, что СD  =  BE  =  LM  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость EDL со­дер­жит центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. В тре­уголь­ни­ке ABC имеем:

дробь: чис­ли­тель: AE, зна­ме­на­тель: EB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: DC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби .

Зна­чит, DE= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби BC=4, от­ре­зок DE делит ме­ди­а­ну, про­ведённую из вер­ши­ны A, в от­но­ше­нии 2:1, то есть со­дер­жит точку O. Кроме того, O  — се­ре­ди­на DE.

б)  Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AMO. В нём AO=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Опу­стим из точки L пер­пен­ди­ку­ляр LK на сто­ро­ну AO. Тогда

AK= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AO= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , KO= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AO= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Зна­чит,

LK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: LA в квад­ра­те минус AK в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,LO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: LK в квад­ра­те плюс KO в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та .

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник DLE  — ис­ко­мое се­че­ние, а LO  — его вы­со­та. Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния равна дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби LO умно­жить на DE=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та .

 

 

При­ведём ре­ше­ние Ольги Аба­лы­мо­вой.

Найдём DE. Тре­уголь­ник ADE по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC, так как ∠AED = ∠ABC, а угол A общий. Сле­до­ва­тель­но,

DE= дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на 6, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби =4.

Найдём LE. Для этого при­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку AMB:

MB в квад­ра­те =AM в квад­ра­те плюс AB в квад­ра­те минус 2AM умно­жить на AB умно­жить на ко­си­нус A,

 

ко­си­нус A= дробь: чис­ли­тель: 8 в квад­ра­те плюс 6 в квад­ра­те минус 8 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 8 умно­жить на 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ALE:

LE в квад­ра­те =AE в квад­ра­те плюс AL в квад­ра­те минус 2AE умно­жить на AL ко­си­нус A,

 

LE в квад­ра­те =4 в квад­ра­те плюс 6 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 4 умно­жить на 6 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби =34.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник LEH: LH  — его ме­ди­а­на и вы­со­та, сле­до­ва­тель­но, этот тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

LH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: LE в квад­ра­те минус EH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но LH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 34 минус 4 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та .

 

Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка LED:

S_LED= дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 505417: 505423 505450 511405 Все

Классификатор стереометрии: Пло­щадь се­че­ния, Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки, Де­ле­ние от­рез­ка, По­стро­е­ния в про­стран­стве, Се­че­ние  — тре­уголь­ник
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026