PDF-версии: 
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.
Решение. а) Предположим для определённости, что точка E лежит на катете BC, а точка K — на катете AC. Проведём отрезок KE и заметим, что он является гипотенузой прямоугольного треугольника KCE, подобного треугольнику ABC.
Рассмотрим углы четырёхугольника ABEK. Если ∠ABE = α, то
а 
Значит,
Сумма двух противоположных углов в четырёхугольнике 180°, следовательно, четырёхугольник вписан в окружность.
б) Радиус окружности, проходящей через точки A, B и E, найдем по теореме синусов:
Из подобия треугольников CEH и ABC находим
откуда 
Тогда
Поэтому
Следовательно, искомый радиус
Приведем еще одно решение пункта б).
Продолжим отрезок КН за точку Н, точку его пересечения окружностью назовем Р. Прямые KP и ВС параллельны, следовательно, 
Заметим, что 
как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Значит,
то есть 
— прямой. Таким образом, прямые BP и СH параллельны, и четырехугольник CHPB — параллелограмм, в котором BP = CH = 5. Отрезок AP — диаметр окружности, найдем его из прямоугольного треугольника ABP:
Следовательно, искомый радиус 
Приведем решение пункта б) Евгения Матвеева.
В прямоугольном треугольнике ABC имеем: 
В прямоугольном треугольнике CHK имеем: 
Тогда 
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABK по теореме синусов
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |